Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

cout total moyen et cout marginal (terminale)

Posté par
mathsmaths31
08-04-21 à 18:09

Bonjour,

J'ai un DM à rendre pour ****et je suis complètement bloquée à une question, pourriez vous m'aider :

le cout moyen est défini par CM(q)= C(q)/q
le cout marginal est défini par Cm (q) = C(q)-C(q-1)

Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique et peut produire chaque jour entre 0 et 10 tonnes de plastique. Le cout total de la production en euro est modélisé par la fonction C définie sur [0;10] par :

C(q)=15q^3-100q^2+500q+300

où q est la masse en tonne, de plastique recyclé dans la journée.
on note CM le cout moyen et Cm le cout marginal

3) En utilisant l'égalité CM(q)= C(q)/q démontrez que le cout moyen est minimal lorsqu'il est égal au cout marginal

Merci d'avance

*modération > mathsmaths31, pour la gestion du temps, cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*

Posté par
malou Webmaster
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:12

Bonjour
commence par dire ce que tu as fait et où tu bloques

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:12

Bonjour

Que proposez-vous ? Avez-vous étudié la fonction C_M pour connaître son minimum ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:14

Bonjour,
L'énoncé des questions 1) et 2) pourrait être utile ...

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:30

Bonjour merci d'avoir répondu si rapidement

J'ai oublié de dire que Cm(q)=C'(q)

malou et helka : Bonjour, j'ai étudié la fonction, j'ai trouvé qu'elle admettait un minimum en q=3/20 du coup je me dis qu'en résolvant l'équation C'(3/20) je devrais avoir une égalité sauf que je trouve deux résultats différents

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:31

Sylvieg @ 08-04-2021 à 18:14

Bonjour,
L'énoncé des questions 1) et 2) pourrait être utile ...


Bonjour,

La question 1 est montrez que la fonction C est croissante sur [0;10]
La question 2 est étudiez les variations de Cm sur [0;10] et interprétez

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:54

mathsmaths31 @ 08-04-2021 à 18:30

Bonjour merci d'avoir répondu si rapidement

J'ai oublié de dire que Cm(q)=C'(q)

malou et helka : Bonjour, j'ai étudié la fonction, j'ai trouvé qu'elle admettait un minimum en q=3/20 du coup je me dis qu'en résolvant l'équation C'(3/20) je devrais avoir une égalité sauf que je trouve deux résultats différents


J'ai trouvé que C'(q)= 45q^2-200q+500
que CM(q)= 15q^3-100q^2+500q+300/q = 15q^2-100q+500+300/q

Cm'(q)= 30q-100-300/q^2 <=> 100q^2-30q+300= 0
J'ai trouvé un discriminant négatif et que le minimum était égal à 3/20

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 19:28

Je trouve comme minimum du coût moyen \alpha \approx 3,96834

 C_M(q)=15q^2-100q+500+\dfrac{300} {q}

Recherche du minimum  valeur où la dérivée s'annule

 C'_M(q)=30q-100-\dfrac{300}{q^2}=\dfrac{30q^3-100q^2-300}{q^2}

On obtient au numérateur un polynôme de degré 3 et on cherche donc à résoudre

30q^3-100q^2-300 =0

Pour ce faire on étudie la fonction g\ :\  x\mapsto \dfrac{30q^3-100q^2-300}{q^2}

 g'(x)= \dfrac{(90q^2-200q)q^2-2q(30q^3-100q^2-300)}{q^4}=\dfrac{30q^3+600}{q^3}

pour tout q\in[0~;~10]\ g'(q)>0 donc g est strictement croissante

 g'(0)g'(10) <0 par conséquent il existe un \alpha tel que g'(\alpha)=0

La dérivée du coût moyen s'annule en changeant de signe pour \alpha \approx 3,96834  Donc le coût moyen est minimum pour \alpha

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:00

hekla @ 08-04-2021 à 19:28


* Modération > Citation inutile effacée. *


Merci beaucoup pour votre réponse mais le problème est que je n'ai pas vu cette méthode en cours il n'y aurait pas un autre moyen de résoudre cet exercice ? Je suis en terminale avec l'option mathématiques complémentaire ce qui équivaut aux mathématiques en ES.

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:07

Quelles étaient les autres questions ?  Que vous a-t-on fait étudier avant dans ce problème

Coût marginal  45q^2-200q+500

Coût moyen  15q^2-100q+500+\dfrac{300}{q} le coût moyen est minimal lorsque la dérivée de cette fonction est nulle

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:16

hekla @ 08-04-2021 à 21:07

* Modération > Citation inutile effacée. *


Bonsoir,

La question 1 était montrez que la fonction C est croissante sur [0;10]
La question 2 étair étudiez les variations de Cm sur [0;10] et interprétez

J'ai parlé trop vite j'ai compris vos calculs mais je ne comprends pas ce que vous avez écrit à partir de g'(0)g'(10)>0

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:28

Je n'ai pas écrit cela,  car si le produit est positif alors les éléments sont de même signe.  C'est justement ce que l'on ne veut pas  On veut qu'il y en ait un positif et l'autre négatif.  La fonction étant dérivable et strictement croissante   on passe donc par 0 une fois seulement  application du théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:34

hekla @ 08-04-2021 à 21:28

* Modération > Citation inutile effacée. *


D'accord, merci beaucoup pour votre temps.

Bonne soirée !

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:52

Vous avez dû voir le théorème des valeurs intermédiaires  ou vous le verrez, car il fait partie du programme.
Si vous avez des questions, n'hésitez pas
De rien

Bonne soirée



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !