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Niveau première
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cubes d'entiers

Posté par
Sylvain21
21-01-13 à 19:01

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire, je n'y arrive pas. Je bloque dès la première question....
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Le but est de trouver tous les entiers positifs n tels que n+184 et n-285 sont des cubes d'entiers

1) Montrer que, pour tous réels x et y ,    x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

2) Montrer que "trouver tous les entiers positifs n tels que n+184 et n-285 sont des cubes d'entiers" revient à chercher des entiers x et y, tels que x^3 - y^3 = 469

3) Donner les différentes écritures de 469 sous la forme de produits d'entiers.

4) Déduire de ce qui précède les solution au problème posé

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 19:04

Bonjour,

Il suffit de développer l'expression à droite de l'égalité et ainsi retrouver le terme de gauche.

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 19:20

Oups !!
J'dois être fatigué, je cherchais midi à 14h....
C'est vrai que le 1) est facile :

cubes d\'entiers

Par contre, la suite....

Posté par
Glapion Moderateur
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 19:20

c'est x3-y3 que tu dois trouver

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 19:27

La suite n'est guère plus difficile.

Si on suppose que n+184 est un cube d'entiers, on peut l'écrire x3.
Si on suppose que n-285 est un cube d'entiers, on peut l'écrire y3.

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 19:29

Et m.....    j'suis effectivement fatigué !
grossière erreur de signe !!
c'est mieux ainsi :

cubes d\'entiers

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 22:22

Ok, jusque là, j'arrive à vous suivre :

cubes d\'entiers

Un petit indice pour la suite, svp ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 22:29

De même qu'on a décomposé x3-y3 en produit de 2 termes, il faut écrire 469 comme un produit de 2 entiers.

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 22:31

Je ne vois que  : 469 * 1    ou   67 * 7

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 22:32

oui, il n'y a plus qu'à identifier ces nombres à l'expression du début.

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 22:40

à vous entendre, ça a l'air de couler de source, mais je ne vois pas...

Posté par
Glapion Moderateur
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 22:56

469=767 ou bien 4691 donc il n'y a pas grand choix
tu es obligé d'identifier x-y et x²+xy+y² à ces nombres là. Et puisque x= n+184 et y=n-285 tu vas facilement trouver n

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 21-01-13 à 23:11

Ben..... je ne vois toujours pas !

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 23-01-13 à 14:13

Vous auriez un petit indice, en plus, svp ?
J'ai beau me triturer les méninges, je n'arrive pas à "identifier x-y et x²+xy+y² à ces nombres là" et à "facilement trouver n"...

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : cubes d'entiers 23-01-13 à 14:25

Il faut poser x-y = 1 et x²+xy+y² = 469 et voir ce que ça donne.
On peut aussi essayer l'inverse mais on voit rapidement que ça ne donne rien.

Idem avec 7 et 67.

Ca fait donc 4 cas à étudier.

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 23-01-13 à 14:57

Ok, Je m'y mets...

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 23-01-13 à 14:59

système d'équation ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : cubes d'entiers 23-01-13 à 15:06

Une simple substitution devrait suffire.
On remplace x par y+1 dans la 2ème équation par exemple.

Posté par
Sylvain21
re : cubes d'entiers 23-01-13 à 15:12

oui bien sur



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