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D-M de math : encadrement de sin x et de cos x pour x E [0,2Pi]
Je vous serais très reconnaissant si vous pouviez m'aider dans mon DM de math.
Partie A:
1)Soit f la fonction definie sur [0;2
] par f(x)=sin x-x
a)Etudier le sens de variation de f
b)Calculer f(0). Comparer alors sin x et x sur [0;2]
2)A l'aide de la fonction x
1-(x²/2)-cos x, montrez de meme que, pour x 
[0;2pi], on a: 1-(x²/2) 
cos x
3)Etablir de meme que, pour x [0;2], x-(x3/6sin x
4)Deduire un encadrement de sin x pour x [0,2]
5)Tracer dans le meme repere et pour x[0;2] les courbes representatives des fonctions xx, xsin x et xx-x3/6
Interpreter graphiquement le resultat du 4
6)En utilisant l'encadrement du 4), donner un encadrement de sin 0.1 donnée par la calculatrice
Partie B:
En s'inspirant de la partie A, montrer que, pour x
0, 1-(x²/2)cos x1-(x²/2)+(x4/24) et en deduire un encadrement de cos 0.1
Partie C:
Etendre les inégalités obtenues a [0,+
]
Voila c'est assez long mais je vous serai, je vous le repete, très reconnaissant!
Avec mes plus profond remerciement.
Dès le début ?
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction, il suffit d'appliquer les méthodes vues en cours...
Tu dérives, tu étudies le signe de la dérivée et tu conclus.
Il n'y a rien de sorcier.
Non mais c'est pas sa qui me gene en fait c'est que je trouve un resultat bizarre car je devrais trouver un fonction decroissante tout le long mais mon tableau que je trouve mets qu'elle est decroissant sur [0;] et croissante sur [;2] et c'est bizarre.
C'est pour sa que je bloque.
J'orai besoin d'aide et de reponse claire si possible!!
merci beaucoup
Bonjour,
Tu souhaites de l'aide, mais tu ne nous donnes pas beaucoup d'information (à part l'énoncé, bien sûr 
).
Tu ne nous dis pas comment tu as fait pour calculer les variations, quelle est l'expression de ta dérivée, ... Difficile alors de te corriger sans tout refaire nous-mêmes.
f est dérivable sur [0;2pi] et :
f'(x) = cos(x) - 1 =< 0
Donc f est décroissante sur [0;2pi]
donc, pour tout x dans [0;2pi], f(x) =< f(0)=0
donc, pour tout x dans [0;2pi], sin(x) =< x
Ok merci Nico sa m'aide!Mais je ne comprend toujours pas comment faire la question 2)
Désolé de demander tant de chose mais je ne comprend pas ces exercices.
Merci
Tu ne comprends pas... mais cherches-tu à comprendre ?
Il suffit d'appliquer la même méthode.
Soit g : x -> 1-(x²/2)-cos x sur [O;2pi]
g est dérivable sur [0;2pi]
et g'(x) = sin(x)-x =< 0 (d'après la question précédente)
donc g est décroissante
Or g(0)=0
Donc pour tout x dans [0;2pi], g(x) =< x
Donc pour tout x dans [0;2pi], 1-(x²/2) =< cos(x)
Encore merci Nico!!
Mais dsl mais maintenant c'est a l'encadrement(3)) que je bloque!
Je dois vous enerver mais bon!!
merci d'avance!!
Pour ma part, j'arrête d'intervenir, car nous sommes en train de résoudre tes questions les unes après les autres, sans aucun effort de ta part.
Pour la 3), c'est encore la même méthode que pour 1) et 2)
Relis mon message de 6:00 !
Excuse moi Nico! Je te comprend!C'est vrai que je n'ai pas reflechi! mais tes 1ere reponse m'aident quand meme!merci et encore desolé
Je t'en prie. 
Bon courage
Tu peux poster ta rédaction de la 3) pour correction, si tu le souhaites...
bonsoir,
voilà ce que j'ai trouvé pour le 3)
soit la fonction h telle que h(x)=x-x3/6-sinx
on dérive et on obtient
h'(x)=1-x²/2-cosx
nous avons donc h'(x)=g(x) or g(x)=<0 sur [0;2] donc h est décroissante
h(0)=0 donc h(x)0 
x-x3/6-sinx0 d'où :
x-x3/6sinx
4) il découle donc des questions 1b et 3 que:
xsinxx-x3/6
5) courbes
6) En fait il faut comparer le calcul et le résultat à la machine à calculer
je trouve des résultats bien différents 
Voilà pour la partie A merci d'y jeter un oeil
Je suis d'accord avec toi pour 3) et 4).
6) "En fait il faut comparer le calcul et le résultat à la machine à calculer. je trouve des résultats bien différents"
Ta première phrase est incompréhensible. De toute façon, si tu ne nous donnes pas les valeurs que tu obtiens, comment veux-tu que nous t'aidions ?
Il suffit de remplacer x par 0,1 dans :
x-x^3/6 =< sinx =< x
Je voulais dire qu'il manquait un morceau de l'ennoncé.
l'encadrement nous donne:
0,099833=<sinx=<0,1 et la machine 0,001745
Mon tableur préféré indique :
sin(0,1) # 0,09983342
ce qui est correct vis-à-vis de ton encadrement.
Es-tu sûr que ta calculatrice est bien réglée (en radians, et non en degrés ou en grades) ?
Nicolas
effectivement je n'avais pas configuré la calc. en radians!
partie b
soit la fct k telle que k(x)=1-x²/2+x4/24-cosx
je calcule k'(x)=-x+x3/6+sinx=sinx+x3/6-x
k'(x)=-h(x)
h(x)0 donc k(x) est croissante
k(0)=0 donc k(x)0
il en découle donc 1-x²/2+x4/24-cosx0
donc cosx1-x²/2+x4/24
de plus nous avons vu au 2) que cosx1-x²/2 donc
1-x²/2+x4/24cosx1-x²/2
On calcule et on trouve pour x=0,1
0,995004cos0,10,995
Les inégalités de B portent déjà sur [0;+oo[
Je comprends donc qu'il faut étendre les inégalités de A, à savoir :
x-x^3/6 =< sin(x) =< x
Elles sont déjà vraies sur [0;2pi]
Il reste donc à montrer que :
a) sin(x) =< x pour x >= 2pi
b) x-x^3/6 =< sin(x) pour x >= 2pi
a) me semble évident sachant que sin(x) =< 1
De même, b) découle du fait que x-x^3/6 =< -1 sur [2pi;+oo[
Etait-ce insurmontable ?
Sauf erreur.
Nicolas
Bonsoir
Finalement ce n'était pas trop pénible, il faut que je m'habitue à me creuser un peu plus les méninges et ne pas baisser les bras aussi rapidement!!!
@ la prochaine merci!!
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