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de la géométrie et des asymptotes
Bonjour à tous, j'ai un Dm à faire avec, en autre, cet exercice où je suis complètement bloquée. voici l'énnoncé:
(O,i,j) est un repère orthonormé. On considère les points A(1,2), I(1,0), H(0,2) et pour tout réel x strictement supérieur à 1, le point P(x,0). La droite (AP) coupe l'axe des ordonnées en Q.
1. Exprimer IP, OQ et HQ puis l'aire des triangles OPQ, HAQ et IPA en fonction de x.
2. f est la fonction définie sur 1;+infinie (intervalle ouvert) par f(x)= (x²)/(x-1) C est sa courbe représentative dans (O,i,j).
a) En découpant convenablement le triangle OPQ déterminer trois réels a,b,c tels que, pour tout réel x supérieur à 1,
f(x)= ax+b+(c/x-1)
b) Etudier la limite de f en 1 et en +infinie.
c) Etudier les variations de f sur 1;+infinie (intervalle ouvert) et dresser son tableau de variation.
d) Tracer d1, d2 et C.
3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle OPQ est-elle minimale? Que vaut alors cette aire?
Voilà, pour la question 1 j'arrive à exprimer IP en fonction de x mais pour OQ et HQ je suis bloquée car je ne sais pas que lle valeur a Yq. Et après je n'y arrive pas. Merci à tout ceux qui pourront m'apporter leur aide.
salut.
et bien il faut chercher yQ.
on note P(X,0) (a ne pas confondre avec x de l'equation de droite)
equation de la droite (AP) : y=2*x/(1-X) -2*X/(1-X)
ceci a un sens car X different de 1.
Q est a l'intersection des droites (AP) et (OH) qui sont d'equation :
y=2*x/(1-X) -2*X/(1-X)
x=0
donc Q(0, -2*X/(1-X) ) remarque yQ>0 car X>1.
OQ=2*X/(X-1)
HQ=2*X/(X-1) -2 = 2*(X/(X-1) -1) = 2/(X-1)
pour les aires, je te laisse faire.
2a)
pour cette question je reprends P(x,0)
donc Q(0,2*x/(x-1))
l'aire de OPQ est f(x).
on decoupe OPQ de la facon suivante.
on le decoupe en 3.
1 er morceau : le rectangle OIAH d'aire OI*OH=2
2 eme morecau : le triangle HAQ d'aire 1/(x-1)
3 eme morceau : le triangle IPA d'aire x-1
on arrive au resultat suivant :
(aire de OPQ )=(aire de OIAH)+ (aire de HAQ) + (aire de IPA)
ce qui donne :
f(x)= 2 + 1/(x-1) + x-1
donc f(x)= x+1 + 1/(x-1)
on prend donc a=1 b=1 c=1.
b)c) pour etudier la limite et la fonction on utilisera la forme
f(x)=x+1 + 1/(x-1)
d) je te laisse faire...
e) l'etude de f doit mettre en evidence un minimum (visible sur le tableau de variation).
il suffit de lire sur le tableau de variation pour quel x f admet un minimum.appelons le a.
une fois trouve ce a on prendra f(a)= qui est la valeur cette aire minimale.
merci pour ton aide.
je vais aller reprendre mon Dm pour voir si j'ai tout bien compris. peut-être à plus tard si j'ai des questions
merci encore
coucou!! j'ai lu toutes tes réponses et j'ai retravailler mon Dm, ça va mieux merci beaucoup, j'ai juste un soucis, dans la questions 1, pourrais-tu m'expliquer comment on fais pour trouver l'équation de la droite (AP) stp? et oui donc après tu m'a écris cette équation et ensuite tu exprimes la longueur OQ, et tu mets OQ=2*X/(X-1)
et pareil pour HQ=2*X/(X-1)-2 alors je comprend pas, dans la parenthèse, c'est X-1 ou 1-X que je dois mettre??
j'espère que tu pourras me répondre
a plus biz
A(1,2)
P(X,0)
comme X different de 1 la droite (AP) a pour equation y=a*x+b.
a qui est le coefficient directeur vaut 2/(1-X)
donc y=2*x/(1-X) + b
reste a trouver b et ca ce sont les coordonnees de A ou de P (au choix ) qui nous donnent la valeur de ce b : -2*X/(1-X)
equation de la droite (AP)
y=2*x/(1-X) -2*X/(1-X)
...
Q(0, -2*X/(1-X) )
OQ=V( [xQ-xO]²+[yQ-yO]²)=V(xQ²+yQ²)
donc OQ=V(yQ)²) = |yQ| = | 2X/(1-X) |
comme X>1 on a OQ=-2X/(1-X)=2X/(X-1)
de meme HQ=V[(yQ-yH)²]=|yQ-yH|=| -2*X/(1-X) - 2|
pour continuer il faut voir le signe de -2*X/(1-X) - 2 = -2*(X/(1-X) +1)=-2*1/(1-X)=2/(X-1)
comme X>1 on a X-1>0
donc -2*X/(1-X) - 2=2/(X-1)>0
donc HQ=2/(X-1)
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