Niveau terminale

decomposer les fractions en somme de fraction simple

Posté par bpmzor (invité) 21-09-04 à 14:08

slt a tous

pourriez vous me dire comment faire pour decomposer les fractions en somme de fraction simple. ( la formule ou la theorie a suivre)

pourriez vous faire aussi cet exercice

3x^3-3x^2-x-5 / x^3-2x^2+x-2

merci d'avace

Posté par guille64 (invité)re : decomposer les fractions en somme de fraction simple 21-09-04 à 14:33

bonjour bpmzor,

Je ne suis pas certain de bien comprendre ta question... alors je te propose ce que j'en comprends :

3x³-3x²-x-5 / x³-2x²+x-2 =
(3x³ / x³-2x²+x-2) - (3x² / x³-2x²+x-2) - (x / x³-2x²+x-2) + (5 / x³-2x²+x-2)

On a déjà décomposé en somme de fraction.. maintenant on va "éliminer" les xⁿ pour se ramener à une forme du type (k / Q(x)) avec k réel et Q(x) une fontion de x
POur ce la je factorise chaque dénominateur par le xⁿ du numérateur...
Concrètement pour exemple
(3x³ / x³-2x²+x-2) = (3x³ / x³(1 - 2/x + 1/x² - 2x³))
= (3 / (1 - 2/x + 1/x² - 2x³)

Donc pour revenir à notre exercice
(3x³ / x³-2x²+x-2) - (3x² / x³-2x²+x-2) - (x / x³-2x²+x-2) + (5 / x³-2x²+x-2) =

(3x³ / x³(1 - 2/x + 1/x² - 2x³))
- (3x² / (x²(x-2+1/x-2/x²)) - (x / (x(x²-2x+1-2/x) + (5 / x³-2x²+x-2) =

(3 / (1 - 2/x + 1/x² - 2x³)) - (3 / (x-2+1/x-2/x²)) - (1 / (x²-2x+1-2/x)) + (5 / (x³-2x²+x-2))

Voilà, si j'ai bien compris le pb!
à bientôt,

Guille64

Posté par re : decomposer les fractions en somme de fraction simple 21-09-04 à 14:58

Hello !!

Voici la méthode , tu as un quotient de deux polynomes

$\frac{3x^3-3x^2-x-5}{x^3-2x^2+x-2}=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Méthode

1)Comparer degré de P(x) et Q(x)

Ici , on a égalité des degré , le rapport admet une partie entière , la division euclidienne donne :

$\frac{3x^3-3x^2-x-5}{x^3-2x^2+x-2}=3 + \frac{3x^2-4x+1}{x^3-2x^2-x-5}= 3 + A$

1) Factoriser , le dénominateur de A(x)

On voit que Q(2)= 0 : donc 2 est une racine de Q
On en déduit que $Q(x)=(x-2)J(x)$
Par la division euclidienne , on trouve

$J(x)=(x^2+1)$

Donc $Q(x)=(x-2)(x^2+1)$

D'où

$A(x)=\frac{3x^2-4x+1}{(x-2)(x^2+1)}$

2)On décompose le produit du dénominateur

$A=\frac{3x^2-4x+1}{(x-2)(x^2+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

Le numérateur correspond à chaque fraction est d'un degré inférieur :

(x-2) degré 1 donc A = constante
x²-1 degré 2 donc numérateur degré 1

3) On identifie les coefficients A,B et C

$A=\frac{3x^2-4x+1}{(x-2)(x^2+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=$
$\frac{A(x^2+1)}{(x-2)(x^2+1)}+\frac{(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+1)}=$
$\frac{Ax^2+A+Bx^2-2Bx+Cx-2C}{(x-2)(x^2+1)}=$
$\frac{(A+B)x^2+(C-2B)x+A-2C}{(x-2)(x^2+1)}$

$A+B=3$
$C-2B=-4$
$A-2C=1$

moi j'arrive à

$A=1$
$B=2$
$C=0$

d'où finalement

$\frac{x^3-3x^2-x-5}{x^3-2x^2+x-2}= 3 + \frac{1}{x-2}+\frac{2x}{x^2+1}$

Voili voilà

Charly

Posté par guille64 (invité)re : decomposer les fractions en somme de fraction simple 21-09-04 à 15:59

ok ca marche.. donc j'avais bien compris que je n'avais pas compris...

Je crois que la prochaine fois je m'abstiendrai!!
Enfin, pour le moins je saurais désormais ce qu'on appelle décomposition en fractions simples

Bon travail,
à bientôt

Guille64

Posté par re : decomposer les fractions en somme de fraction simple 21-09-04 à 18:31

Hello guille64 ,

je ne sais pas quel est ton niveau en maths , mais ce qui est sur c'est qu'on apprend toujours quelque choses dans cette matière .
Moi la dernière fois J-P avait posté une superbe réponse à un post sur les équations bicarrées.

En ce qui concerne la décomposition en élément simple , elle sert à intégrer les fonctions de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)}$

Ici , si on devait intégrer

$\int_^{}\frac{3x^3-3x^2-x-5}{x^3-2x^2+x-2}dx=\int_^{}3dx+\int_^{}\frac{dx}{x-2}+\int_^{}\frac{2x}{x^2+1}dx=3x + ln|x-2|+ln(x^2+1)+K$

Voili voilà

Charly

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