Bonjour

En développant l'expression j'aboutit au polynôme de degré 4 suivant :



L'indice m'a tout de suite fait penser au nombre d'or donc j'ai tenté de factoriser le polynôme par et il vient :



Or le discriminant du deuxième facteur étant négatif, trouver les racines du polynôme de degré 4 revient à trouver celles du trinôme du second degré . Il y a donc deux solutions dans :



Merci pour l'énigme

Bonjour,

Je trouve 2 solutions réelles (et 2 solutions complexes) :
et .
L'une de ces solutions est le nombre d'or.

Merci Maxima et la commande ^{solve(x^2+x^2/(x+1)^2=3,x);}

C'est (1+5)/2 et (1-5)/2

Le nombre d'or.

Solutions de x^2=x+1

Bonjour,

bon avec de gros sabots mais illico, je propose de tout multiplier par (x+1)²,
d'où x^4+2x^3-x²-6x-3=0
puis on factorise pour obtenir une équation-produit (x²-x-1)(x²+3x+3)=0
la seconde partie n'a pas de solution dans R, et la première x²-x-1=0 n'est autre que l'équation _{(dont j'ai oublié le nom)}
donnant pour solutions (le nombre d'or) et (ou ) d'où l'appel du pied à Leonardo de Vinci...

Les solutions sont donc .

Merci pour l'exercice.

^{PS: Nul doute qu'un changement de variable astucieux sera plus expéditif, mais là... j'ai trop mangé !!}

on obtiens un polynome d'ordre 4:
2racines reelles et 2 complexes
x1=( 1+racine(5) )/2
x2=( 1-racine(5) )/2
x3=( -3+i*racine(3) )/2
x4=( -3-i*racine(3) )/2


donc les solutions dans R sont:
x1=( 1+racine(5) )/2 (nombre d'or au passage)
x2=( 1-racine(5) )/2

Cette équation revient à résoudre :
x²(x+1)²+x²-3(x+1)²=0 avec x différent de -1.
En développant on a :
x⁴+2x³-x²-6x-3=0
x⁴-x³-x²+3x³-6x-3=0
(x²)(x²-x-1)+3x³-6x-3=0
(x²)(x²-x-1)+3x(x²-x-1)+3x²+3x-6x-3=0
(x²)(x²-x-1)+3x(x²-x-1)+3(x²-x-1)=0
(x²+3x+3))*(x²-x-1)=0
Le premier terme du produit a deux racines complexes. Par contre, le second terme a pour racines :
x₁= (1+5)/2
x₂= (1-5)/2
qui sont les racines réelles de l'équation proposée.
x₁ est le fameux nombre d'or.

Quant a l'indice, il s'agit de Léonard de Pise (Fibonacci). En effet, soit F_n un élément de la suite qui porte son nom, on sait que F _n+1/F_n tend vers le nombre d'or.
Le dessin représente Le Modulor présenté en avril 1947 par le Corbusier(système de proportion du corps humain). le nombre d'or est fréquemment utilisé dans les proportions.

les deux solutions sont (1+5)/2 et (1-5)/2
c'est une énigme qui vaut de l'or !!

Bonjour, les racines sont : (1+V5)/2 et (1-V5)/2

Merci pour l'énigme

ca donne le nombre d'or soit (5+1)/2
ce sont les indices qui m'ont donnés la reponse.....

Bonjour,
l'illustration et Léonard (de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci) menaient au nombre d'or, une des solutions de x²=x+1.
Une rapide vérification montre qu'en posant x²=x+1 dans l'équation, on arrive encore à cette équation : le nombre d'or et l'autre racine de x²=x+1 sont donc solutions.
On multiplie l'équation proposée par (x+1)² pour la rendre polynômiale : x²(x+1)²+x²-3(x+1)²=0, ou encore , qu'on peut factoriser (merci les indices et la division euclidienne) en (x²-x-1)(x²+3x+3)=0. Règle du produit nul, la deuxième parenthèse ne s'annulant jamais dans IR (discriminant strictement négatif), l'équation proposée a les mêmes racines que x²=x+1, à savoir (le nombre d'or) et

ne serait-ce pas le nombre d'or ? ((1+racine de 5)/2) ?

salut,
je pourrais pas vous résoudre le calcul par écrit, vu que j'ai pas réussi sur une feuille! donc d'après l'indice, il s'agissait du nombre d'or, je vérifie sur la calcu, et je vis qu'il y en a un deuxième qui est le nombre d'or fois "-1"+1
les résultats approximatifs sont donc
1,61803399
-,61803399
la c'est vraiment pas honorable de le faire comme ca, mais bon, si c'est bon!
simon

,

,

or

donc ,



  

Remarque:

Et remarquez que pour ce nombre d'or j'ai écrit intégralement en LaTeX. C'est la première fois...

Merci ++

Bonjour

voici les solutions dans de cette équation :



on reconnait bien évidemment le fameux nombre d'or !

au passage les solutions dans de cette équation sont :



merci pour l'énigme.

Bonjour Minkus,

on a:
x^4+2x³-x²-6x-3=0
=>x^4+3x³+3x² -x³-4x²-6x-3=0
=>x²(x²+3x+3)-x³-3x²-3x -x²-3x-3=0
=>(x²+3x+3)(x²-x-1)=0
Dont les racines dans R sont (1+/-V5)/2 (Au numb3r)

1: Comme dirait Dan Brown: "Vini,vidi, Da vinci"
2:Le Corbusier et son modulor.

Bonjour
x² + x²/(x+1)² = 3  => x^4 + 2x³ - x² - 6x - 3 = 0  => (x² - x -1).(x² + 3x + 3 )= 0
dont les racines réelles sont



1er indice Leonard de Pise dit Fibonacci dont la limite du rapport de 2 termes consécutfs de  la suite de Fibonacci tend vers  le nombre d'or
2ème indice  Le modulor par Le Corbusier ( rapport du corps humain avec )
A+

les solutions de l'equation x^4+2x^3-x^2-6x-3=0 après developpement de l'expression du depart sont:

x1=(1+rac(5))/2  x2=(1-rac(5))/2

on pouvait factoriser le polynome de degré 4 et l'écrire sous la forme:

   (x^2-x-1)(x^2+3x+3)=0 tout de même plus facile à résoudre qu'une équation de degré 4
  
l'équation x^2+3x+3=0 n'a pas de solution dans R
  
l'equation x^2-x-1=0 a pour solution x1 et x2

bonjour
je n'ai même pas tenté de résoudre l'équation..les indices parlent de même

est la solution


en espérant que c'est la seule...

merci pour l'énigme

comme

Bonjour et merci pour cette énigme..

suite aux indices, je présume dans un premier temps l'existance du nombres d'or dans ces solutions.

Or le nombre d'or se définit comme la solution positive de l'équation x²-x-1=0.

Les deux solutions trouvées sont alors
1 + (5  /2) et
1 - (5  /2)

Je vérifie et constate que ces deux valeurs sont solutions de l'équation..

J'en déduis que l'équation peut s'écrire (x²-x-1)(ax²+bx+c)=0

Par simplification, on trouve a,b,et c tel que l'équation peut s'écrire:

(x²-x-1)(x²+3x+3)=0

Ainsi, ou (x²-x-1)=0 , ce qui nous donne les deux solutions précédentes
1 + (5  /2) et
1 - (5  /2)

ou (x²+3x+3)=0, qui n'admet aucune solution réelle.



La réponse à l'énigme est donc:

Les solutions réelles de l'équation sont
1 + (5  /2) et
1 - (5  /2)

Merci, @ plus, Chaudrack

Bonjour,

Merci Minkus pour l'indice : Léonard de Pise dit Fibonacci
En prenant le quotient de deux nombres successifs de plus en plus « éloignés » dans la suite de Fibonacci, on tend à se rapprocher du nombre d'or :
Et comme par hasard, est solution évidente de l'équation...
On en déduit facilement une deuxième solution évidente
L'équation devient alors
L'équation x²+3x+3=0 n'a pas de solution dans car = -3 < 0 (Par contre, il y a 2 solutions dans mais cela n'est pas demandé)

Merci et à bientôt, KiKo21.

P.S. Très belle image...

Bonjour à tous !

2 solutions réelles pour cette équation :
x1 = (1-rac(5))/2
x2 = (1+rac(5))/2

car l'équation x²+x²/(x+1)²=3 est équivalente à x^4+2x^3-x²-6x-3=0
que l'on peut factoriser en (x²-x-1)(x²+3x+3)=0

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Deux racines réelles: (5+1)/2 1.618034
et = -(5-1)/2 -0.618034.

_{sauf omission...}

A+,
gloubi

salut,

pas sur d'avoir un smiley sans démonstration mais :
on a



Pour x -1 (et x=1 n'est pas racine du numérateur)





Le trinôme x²+3x+3 n'admet pas de racines dans R
Pour x²-x-1, les racines sont
et

qui sont donc les solutions de l'équation

Ptitjean

Après réduction au même dénominateur et multiplication des 2 membres par (x+1)², l'équation est équivalente à :

x⁴ + 2x³ - x² - 6x - 3 = 0

Les indices incitent à penser que le nombre d'or est solution de cette équation, et en effet, l'équation se factorise par (x²-x-1) :

(x² - x - 1)(x² + 3x + 3)=0

D'ou les solutions :

(1+5)/2 et (1-5)/2

Bonjour,

Merci beaucoup pour l'indice, je pense que j'aurai été incapable de trouver sans.

Il y a 2 solutions :

( 1 - √5 ) / 2
( 1 + √5 ) / 2

C'est le fameux nombre d'or (1+V5)/2 et son "conjugé" (1-V5)/2.

Salut









L'équation ne donne que des solutions complexes.

Par contre, la seconde équation est très connue, puisque les solutions sont et où est le nombre d'or.

Minkus, est-ce le premier exo d'une longue série de problèmes de plus en plus complexes, ou était-ce juste pour la beauté du résultat ?

Merci en tout cas

-(5)/2+1/2 et (5)/2+1/2 et

c'est quoi exactement l'algèbre? on en fait au lycée?

Bonsoir,

Sans même le calcul, on peut voir qu'il y a une relation avec le nombre d'or

Donc, je trouve 4 solutions dans dont 2 dans :

(autrement dit les solution sont et )

Merci pour l'énigme

bonsooir tous le monde.

je suis arriver que a se résultats.
je v'ai vous dire la méthode mais pas avec les donner car je n'arrive pas a ecrire avec le LATEX.désolé.

alors j'ai touts mit au meme dénominateur pour les enlever en suite.

puis j'ai rassembler les terme identique comme en fait pour une equation.

et j'ai trouver ce la:

+ = + 1

merci pour l'énigme.
massi

S={(1-5)/2 ; (1+5)/2}

je pense....

B'jour!

Je trouve:

x= - (V5 -  1) /  2          ou          x=  (V5   +   1) / 2

avec V pour racine carré.....

à bientôt!

mathsgirl            

Bonjour à tous.

Je dirai qu'il y a deux solutions distinctes et :

et


Vive les indices.

Ayoub.

x1=[5^(1/2)+1]/2
x2=[-5^(1/2)+1]/2

je ne sait pas comment on fait les racines carrés alors j'ai mis (^1/2)
tchao

bonjour Minkus
je vois qu infophile a proposé une reponse , donc je peux bien me lancer aussi
il y a 2 solutions reelles  
solutions
phi =(1+rac(5))/2  et  (1-rac(5))/2
merci pour l equation

La réponse est :
le nombre d'or phi
phi=(1+V(5))/2

le V signifie racine

Trés interessant ce probléme

une solution : (1+5^0,5)/2= 1,618033988...
qui est le nombre d'or

Je trouve 2 solutions : (1+5)/2 et (1-5)/2!

@+

salut
j'ai trouve run seul résultat: X=81/50.

merci pour l'énigme

**? Vraiment...mouais, un poil plus en ce qui me concerne...il m'a fallu du temps...et de l'aide :$
Mais bon, après développement complet on obtient x^4+2x³-x²-6x+3=0  (x!=-1)

Ce qui nous donne (x²-x-1)(x²+3x+3)=0

Soit x²-x-1=0 => Delta=5 => x= (1±sqrt(5))/2  (d'où Fibonacci )

ou bien x²+3x+3=0 => Delta<0 => pas soluble dans R

Voili voilou

bonjour,

Après pas mal de recherche, hésitant sur les indices...
j'étais parti sur la résolution de manière algébrique mais vu le nombre d'étoiles et la présence d'indices j'ai vite arrêté !

J'ai finalement trouvé que l'indice était le nombre d'or _{un peu tard mais bon...}

et mes solutions sont :

et

merci pour le défi

Cette équation revient à un polynôme du 4ème degré:
x²(1+1/(x+1)²)=3
(x+1)²*x²+x²-3(x+1)²=0
x^4+2x^3-x²-6x-3=0

Changement de variable: x=X-1/2
L'équation devient: X^4-(5/2)*X^2-4X-7/16

Suite à une troisième étape à laquelle je n'ai pas encore tout compris (j'ai pô fait S :'( ), on trouve ces solutions réelles pour X:
X1=-0,11803399
X2= 2,11803399

donc en revenant à la variable initiale:
x1=-0,61803399
x2= 1,61803399

En tout cas merci de m'avoir intéressé à la résolution des équations du 4ème degré

*challenge en cours*

je n'ai pas trouvé de valeur exacte mais enviro 1.618033989

il s'agit de nombre d'or, phi = (1+5)/2

L'équation peut s'écrire:
x^4+2x^3-x^2-6x-3=0 soit (x^2-x-1)(x^2+3x+3)=0
dont les solutions réelles sont
X=(1+/-5)/2 (tiens, le nombre d'or...), l'autre trinôme n'ayant pas de racine réelle.

les solutions sont:
a)methode algebrique
X1 = (1+Racine(5))/2
X2 = (1-Racine(5))/2
b)methode geometrique
X1 =  racine(3)*cos(0.5*Arcsin(2/3)) = 1.61798
X1 = -racine(3)*Sin(0.5*Arcsin(2/3)) = -0.61801

Indications
1) L'eqution peut s'ecrire sous forme de systeme d'eq
     x² + y² = 3
     y = x/x+1
2) determiner en premier le produit x*y