Bonjour,

j'aimerais bien voir les plans de l'architecte...

en ce qui me concerne j'ai tout fait sur la même figure, du coup c'est peut-être peu lisible. En tous cas, merci Cabri !

Il faut utiliser les médiatrices (ensemble des points équidistants de deux points donnés) et leurs concours (à 2 ou 3).
On obtient cas de figure possible classables en deux catégories:
-en rouge les cercles dont les centres sont intersections de 3 médiatrices (en plein sur la figure du triangle ABC) et les rayons moyennes des distances (dans notre cas de rayon (OA+OD)/2).
Ces cercles donnent soit trois points intérieurs et un extérieur soit trois points intérieurs et un extérieur. Il y a 4 possibilités.

-en vert les cercles dont les centres sont intersections de 2 médiatrices utilisant 4 points (en plein sur la figure de [BC] et [AD]) et les rayons moyennes des distances (dans notre cas de rayon (OA+OB)/2).
Ces cercles donnent deux points intérieurs et deux extérieurs. Il y a 3 possibilités.



Merci pour cette jolie énigme, bien emballée.

Bonjour,

je propose la méthode géométrique suivante afin de déterminer les différentes solutions :

Soit A, B, C et D les quatre villes.
On choisit 3 points sur les 4, et on trace le cercle C1 du cercle circonscrit à ces 3 points ; soit O le centre de ce cercle.
On trace le cercle C2 de centre O qui passe par le 4ème point.
Le cercle solution est le cercle de centre O dont le rayon est la moyenne des 2 rayons descercles C1 et C2.

On peut répéter cette opération 4 fois, donc il y a 4 solutions possibles.

J'écarte le cas des 4 points alignés qui ne peut conduire à une solution circulaire. Idem pour le cas de 3 points alignés.

Soit O le centre du cercle circonscrit de 3 points formant donc un triangle « vrai » (ABD par exemple).
On a OA=OB=OD=L1 et OC=L2, (ici L2>L1).
Le cercle de centre O et de rayon L = (L2+L1)/2 est donc à égale distance ((L2-L1)/2) des points A, B, C et D.
Il y a au maximum 6 points d'intersections deux à deux des 4 médiatrices, C(4,2), donc il y 6 projets géographiquement différents comportant 3 points intérieurs ou extérieurs à la rocade..
Je fais le même raisonnement avec deux médiatrices de côtés non adjacents (AB et CD par exemple). Je trouve 3 projets géographiquement différents comportant 2 points intérieurs ou extérieurs à la rocade..
Au total, il y a au maximum 9 projets de rocade géographiquement différents.

Pour construire la rocade, il faut partir d'un cercle passant par trois villes (toujours faisable), et d'agrandir ou rétrécir ce cercle pour obtenir le résultat (voir dessin, le tracé de la rocade est présenté en foncé).
On peut choisir 4 fois 3 villes ce qui permet : 4 tracés différents.

Remarque : On a exclu le cas très particulier ou deux paires de villes ont même médiatrice, ce qui permettrait d'obtenir un autre tracé (car on pourrait tracer deux cercles de même centre passant par l'une et l'autre des paires).

bonjour
voici ce que je propose : on considère que chaque ville peut être représentée par un point, on trace le cercle de centre O circonscrit à trois villes (par exemple A,B et C), et on trace la droite (OD). Soit E le point d'intersection de (OD) et du cercle et I le milieu de [ED], le cercle de centre O et passant par I est équidistant de 4 point A,B,C et D
Comme, avec 4 points, on peut former 4 triangles , on peut donc trouver au maximum 4 projets différents, chacun correspondant à un triangle et son cercle circonscrit.

Bonjour,

je pense qu'il y a 7 possibilités, chacune correspondant à une intersection de 2 ou 3 médiatrices formés des segments reliant les villes.
Par exemple, dans la figure jointe, on a pris la médiatrice de [AD] et [BC]. On prend ensuite la moyenne des 2 distances pour avoir le rayon du cercle recherché.

bonjour
il y a un cas permettant une infinité de solutions : les villes W, X, Y et Z sont alignées dans cet ordre sur une droite et WX = YZ
choisir un point quelconque sur la médiatrice commune à WZ et à XY; il est à distance d de X et de Y et à distance d' de W t de Z
la rocade aura pour centre ce point quelconque (une infinitéz de possibilités) et comme rayon (d+d')/2

Moi?? J'ai répondu 9 ?? Impossible, vous avez mal lu. !!
D'ailleurs voila la solution avec 7 points d'intersection de médiatrices qui représente les 7 centres des 7 rocades..
A moi le !!!

Bonjour et merci pour cette énigme

Je pense que si 3 de ces villes ne sont jamais alignés il existe 7 configurations différentes, qui se répartissent en deux types :

type 1 : un ville est à l'intérieur de la rocade et les trois autres à l'extérieur, ce qui nous donne 4 possibilités,

type 2 : deux des villes sont à l'intérieur de la rocade et les deux autres à l'extérieur, ce qui nous donne encore 3 autres possibilités.

Le nombre maximal de projets geographiquement differents est donc de 7.

PS: Une configuration où une de ces villes est à l'intérieur de la rocade



On voit que toutes les villes sont à une distance x de la rocade..

@ plus, chaudrack

Bonjour,

Par rapport au cercle décrit par la rocade, les 4 villes peuvent être :

- 2 à l'intérieur du cercle, 2 à l'extérieur
- 1 à l'intérieur, 3 à l'extérieur
- 3 à l'intérieur, 1 à l'extérieur.

(En effet, si les villes sont situées toutes les 4 à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle, cela signifie qu'elles sont à la même distance du centre du cercle, donc cocycliques.)

Dans tous les cas, deux "paires" de points sont équidistants du centre du cercle.
Pour trouver le centre de ce cercle, il faut alors tracer la médiatrice de chaque segment matérialisé par une paire de points. Le point d'intersection de ces médiatrices est le centre du cercle à trouver.

Le nombre de plans possibles est donc égal au nombre de combinaisons de points que l'on peut faire, soit 15.

En voici une : (dessin approximatif)

Dans cet exemple, les deux paires choisis sont (A,B) et (B,C)

Bonsoir Minkus,

Sept cercles.

4 cercles :

trois points sur un cercle et un point extérieur ou intérieur à ce cercle

1:tr ABC
2:tr ABD
3:tr ACD
4:tr BCD    

3 cercles:
deux points intérieurs et deux points extérieurs

5: A,B intérieurs; C,D:extérieurs
6: A,C int et B,D ext
7: A,D int et B,C ext

rem :
J'ai supposé les 4 points non en ligne droite!

Bonsoir
Il existe 7 possibilités dont les centres sont les intersections des couples de médiatrices suivants
(AB;AC) , (AD;AC) ,  (AB;AD) , (BC;CD)  ( 3 points sont à l'extérieur et 1 à l'intérieur ou le contraire)
(AB;CD)  , (AD;BC) ,  (AC;BD) ( 2 points sont à l'extérieur et 2 à l'intérieur)
*
Pour ce dernier soit O le point d'intersection des médiatrices de AC et de BD
Soit R = ( OA + OB)/2
Le cercle demandé a pour centre O et pour rayon R.
A+

Bonsoir

Il y a au maximum    projets géographiquement différents.

si les villes sont représentées par 4 points A,B,C et D
Pour  obtenir le centre d'un de ces cercles il suffit de faire l'intersection de  deux médiatrices (par exemple les médiatrices de [AB] et [BD])

de cette manière on peut obtenir au maximum 7 points d'intersections non confondus.

voici un exemple en image avec les 7 cercles en couleur et les médiatrices en noir.



la même sans les médiatrices:



merci pour l'énigme.

4 possibilités: 1 ville à l'exterieur de la rocade, 2 villes à l'exterieur, 3 villes à l'exterieur, 4 villes à l'exterieur.

Je me contente du minimum: une seule solution, ci joint

Re-Bonjour

Juste une représentation des 7 possibilités trouvées.

je ne pense pas qu'il y en ait d'autres..



@ plus, Chaudrack

Bonjour,

Il y a au plus quatre tracés possibles.

On trace d'abord le cercle passant par trois villes (en noir sur la figure une des 4 solutions), puis on dessine le cercle de même centre équidistant de la quatrième ville et du premier cercle.

A+,
gloubi

Je trouve 4 dispositions possibles au maximum.

On trace le cercle de centre O de rayon R qui passe par 3 des points. On joint la quatrième point à O  à une distance L. On trace ensuite un cercle de centre O et de rayon (R+L)/2. Ainsi chaque point est à une même distance de ce cercle.
On fait de la même façon avec les points pris trois à trois.
Il y a donc au total 4 cercles possibles.

Bonsoir,

Le nombre maximal de projets géographiquement différents est

Dans ce cas, les villes A, B, C et D sont telles qu'il n'y en a pas 3 ni 4 alignées.
On peut construire 4 cercles passant par ABC, BCD, CDA et DAB.
A partir des 4 centres de chacun de ces quatres cercles, on peut tracer 4 autres cercles qui passent à égale distance de chaque ville en augmentant ou en diminuant le rayon de la moitié de la distance qui sépare le cercle de la 4^ème ville.

Il va sans dire que la solution de rocade la plus économique correspond au cercle de plus petit diamètre... Sur mon exemple, c'est le tracé bleu.
ACD sont à l'origine du premier cercle qui donne le centre de la future rocade.
Le rayon définitif est obtenu en diminuant le rayon initial de la moitié de la distance séparant B du cercle initial.

Merci Minkus. Très sympa...

A+, KiKo21.

Les quatre points n'étant pas cocycliques, on peut avoir des solutions dans lesquelles deux points sont intérieurs au cercle , et deux extérieurs, et des solutions dans lesquelles trois points sont intérieurs (ou extérieurs) et le quatrième dans l'autre région.
Il y a au plus trois façons d'obtenir une solution de premier type, puisque trois façons de répartir quatre points en deux couples de points: si l'on a choisi AB, et CD, on trace alors les médiatrices de chacun des segments obtenus qui se coupent en I, et on trace le cercle de centre I et de rayon R=(IA+IC)/2
Il y a au plus quatre façons d'obtenir une solution du second type: par exemple   ABC et D: soit O le centre du cercle circonscrit à ABC et r son rayon; le cercle à tracer aura pour centre O et pour rayon R=(r+OD)/2
Donc en tout sept solutions.  

il me semble que les accès à la rocade sont forcement perpandiculaires à celle ci car sinon il y aurait des distances plus courtes possibles!

il y a donc une seule position de la rocade, pour trois cas de figure possibles:
3 villes à l'exterieur de la rocade et une à l'interieur
2 villes à l'exterieur, 2 à l'intérieur
et une ville à l'exterieur et 3 à l'intérieur!

notre ingénieur à donc 1 seul projet à proposer car ce que sous entends l'énoncé c'est que les villes ne peuvent pas être déplacées!

illustration, la rocade est en rouge, les villes peuvent être n'importe où sur les cercles noirs, tant que l'on reste sur les cas de figure possibles:

<img src="http://img137.imageshack.us/img137/3409/document1pi6.jpg" alt="Image Hosted by ImageShack.us"/>

bonsoir

Je trouve 4 projets de rocade géométriquement différents.
Les points A,B,C,D, représentent les 4 villes;
soit le cercle de centre O passant par ex par A, B, C.
La droite  OD coupe la circonférence en E.
Je détermine D', le milieu de DE et trace le cercle O D'
Ce cercle est bien à égale distance des points A, B, C, D et constitue donc un projet de rocade valable.
je peux faire de même avec le cercle passant par ABD,et le point C, avec le cercle passant par ACD et le point B, avec le cercle passant par BCD et le point A
merci pour ce défi

bonjour.

On sait que par 3 points passe un et un seul cercle.
On peut donc construire 4 cercles différents passant par trois des quatres villes.
Ensuite, à partir d'un cercle, on augmente ou diminue sa taille, selon, en gardant le même centre, jusqu'à ce que la quatrième ville soit à égale distande par rapport aux trois autres.

Il y a donc 4 projets géographiquement différents.

merci pour cette énigme.

En image:

et un poisson ! un !
J'aurais dû réfléchir plus longuement...

bonjour,
je n'arrive toujours pas a attacher d'image,
voila ma reponse:
Il existe un nombre infini de projets geographiquements differents

Soit A, B, C , D les 4 villes . De ces 4 points nous tracons 4 cercles de rayon egaux. On choisit un point quelquonque du plan  que par facilite et pour reduire la longueur du peripherique nous prendrons  dans une position plutot situee en un point tel que les 4 villes soient situees autour de ce point que nous appelerons P .
De ce point P , nous traçons un cercle qui devra soit etre tangent , soit couper en 2 points les 4 premiers cercles traces de meme rayon.
Les points d'intersection de ce grand cercle avec les 4 petits cercles sont les point de raccordement des entrees et sortie des villes au peripherique circulaire.


Avec la figure c'est plus facil a expliquer, j'espere avoir ete clair
Salutations et merci

Paulo

voila l'image que je voulais attacher
merci
Paulo

Bonjour et bon dimanche,

Les reponses de certains sont suffisamment precises pour que je n'ai pas besoin de donner une correction trop detaillee a ce defi. Il y avait en effet au mieux 7 solutions et beaucoup n'ont trouve que les 4 solutions ou la rocade est basee sur le cercle circonscrit forme a l'aide de trois villes. Les 3 autres solutions s'obtenaient en placant deux villes a l'interieur et deux a l'exterieur.

Maintenant, concernant le cas plumemeteore :

- J'ai surement du me tromper qque part car en faisant le dessin que tu donnes, j'ai l'impression que cela ne marche pas.

- Cependant, meme s'il avere que je me trompe, j'avais decide de toute facon d'attibuer un a ta proposition car il me semble que rajouter la condition "les villes sont alignees" ne peut etre autorise car un exercice doit se prendre dans le cas general en l'absence de precision contraire.

En maths, si on demande de demontrer une relation dans un triangle, on ne prend jamais un triangle rectangle ou isocele si cela n'est pas demande.

Je ne sais pas ce que les autres en pensent mais nofutur2 evoque le cas des points alignes et affirme que cela ne conduit a aucune solution. Peut-etre n'a t-il pas fouille le probleme a fond en pensant que l'enonce l'interdisait ?

Bon, ceci etant dit,  pour ceux qui en doutaient encore et qui avaient vendu la peau de l'ours avant de l'avoir tuee, on s'apercoit avec ce defi que "errare nofuturum est".

Qui saura en profiter ?

Manpower ?, surpassant, pour la 4e fois, sa condition de Poulidor de l'ile

Youpi ? 4e au classement et qui discretement reste a l'affut.

ou nobody ? qui, apres l'oubli du debut, du mois ne cesse de combler son retard en etant toujours dans les 2 ou 3 premiers a repondre.

En tout cas Kiko21 a rate une bien belle occasion...

Fin du suspense : lundi dans la journee (si tout va bien)

minkus

Ben il a fait mal celui-ci !!

bonjour,

Je suis desole mais si votre reponse est l

Bonjour Paulo >> il va falloir que tu revois la définition de la distance entre un point et 1 cercle ...

bonjour , je suis desole mais pour que votre reponse soit la bonne il faut que votre question manque de precision.
Vous demandez de tracer une rocade circulaire desservant 4 villes
OK

vous prenez chaque ville et vous tracez autour de chaque ville un cercle de rayon identique.

chaque point de ce cercle est a egal distance du centre de la ville.

Puis vous tracez un cercle qui soit tel qu'il coupe ou tangente les cercles traces precedemment autour de chaque ville

Chaque point d'intresection  ou de tangence du second cercle avec le cercle primitivement trace repond a la solution  demandee par votre enigme.Je ne vois pas ou est la negation de cette affirmation.

j'attends impatiemment votre reponse

salutations

Paulo

P.S. : le dessin de ma reponse a ete poste le 10 /03 a 19h33  

> paulo
le problème, c'est que la distance d'un point à un cercle est la plus petite distance entre ce point et les points du cercle .
si on prend, dans ton dessin, le point B par exemple, la distance de B au cercle n'est pas la longueur du segment que tu as tracé, mais elle est beaucoup plus courte !
Me suis-je faite comprendre ?

bonjour,
je ne suis pas d'accord avec vos interpretations.
j'ai considere (comme cite dans ma solution)  le centre de la ville comme le centre du cercle et le centre du cercle est a une distance constante de sa circonference , cela s'appelle le rayon et il est constant . En plus c'est une definition. Donc ma solution est bonne .
il est sur que je n'ai pas la solution commune mais  ma solution peut en etre une.


encore une fois je ne considere pas la distance d'un point a un cercle mais de son centre a sa circonference et toute intersection d'un cercle quelquonque avec ces 4 cercles est a egale distance du centre. ( je ne repnds pas pour le smiley mais pour developper ma reponse)

bonne soiree

a plus tard

Paulo

Paulo >> il faut que le cercle solution cherché soit à la même distance des 4 points en même temps ...

Tu interpretes mal l'énoncé ...

Okay Paulo. Je n'avais pas juge bon de repondre car je pensais que l'explication de smil te suffirait. J'ai l'impression de comprendre ce que tu veux dire et je vais te repondre en deux points.

Tout d'abord, personne ici ne remet en question ta definition du cercle et personne ne contestera le fait que tous les points de tes petits cercles sont a la meme distance de leur centres respectifs.

Je pense que tu juges avoir trouve un cercle qui passe par des points qui sont a UNE egale distance des villes.

L'ennui c'est qu'il n'existe pas plusieurs distances entre chaque ville et la rocade. On voit tres bien sur ton dessin par exemple que la ville B est plus proche de la rocade que la ville A et le maire de cette derniere risque d'etre jaloux.

Autrement dit, ce n'est pas la longueur des routes de raccordement a la rocade qui devaient etre les memes (?) mais la distance mathematique "a vol d'oiseau" entre la ville et la rocade. Cette distance la est unique.

minkus

Bonjour,

mathématiquement il est évident que la solution de paulo est fausse...

cependant si on fait abstraction de la modélisation mathématique, dans le réel (pour peu que l'ingénieur soit de mèche avec la DDE)
la proposition de paulo est correcte. En voiture en empruntant les routes (sauf pour les maudits possesseurs de 4x4) imposées par paulo,
sa rocade est à égale distance (sur la carte) des villes (à condition qu'il n'y ait qu'un seul chemin menant à la rocade).

Voilà. Je n'ai fait que développer la dernière phrase exprimée par minkus. Quant à savoir si cela mérite un poisson ou un smiley...

Oui en plus la solution de paulo etait ingenieuse puisqu'il y avait une sortie et une entree sur la rocade

Histoire de donner mon avis, c'est vrai que la distance entre chez moi et l'accès à l'autoroute n'est pas forcément

il est vrai que dans ces enigmes, comme dans les JFF, il faut souvent "oublier" la réalité (sinon, l'escargot ne serait jamais arrivé au bout de l'élastique, il serait mort avant)

bonsoir ,

merci de vos commentaires,
bon je pense que l'on peut arreter la discussion et dire que si vous voulez que ma solution soit mathematiquement fausse , elle est geometriquement bonne.

bonne soiree
Paulo

Ce que tu dis n'a pas de sens paulo (enfin selon moi) car la geometrie c'est des mathematiques donc une solution geometrique est aussi la solution mathematique. A la limite tu aurais pu dire "geographiquement" et encore...

Houlà, Paulo se fache

Je crois qu'il n'a toujours pas bien compris le sens de l'énoncé et que les 4 points doivent être à la même distance du cercle.

> paulo, sais-tu ce qu'est la distance d'un point à une droite ?

Bonjour,

> Minkus,

Merci kiko21 d'avoir complete la figure de paulo. Nous on avait bien compris que ca allait, c'est surtout lui qui bloquait...

Une fois de plus, nous sommes face à une incompréhension d'un énoncé, qui provient de difficultés de maitrise de la langue qu'on rencontre si souvent ... la plupart des élèves en echec en maths le sont à cause du francais

bonjour
je suis tout à fait d'accord avec jamo, le manque de maîtrise du français entraine un manque de maîtrise des idées, des raisonnements, et donc un handicap dans toutes les matières

Tel que problème est libellé il existe bien une infinité de solutions

Je rejoins donc la solution proposée par Plumemétéore

En effet
Résoudre le problème revient à trouver un nombre N tel que quels que soient les points A, B,C et D satisfaisant aux conditions de départ le nombre de rocades, passant à égale distance de ces points, que l'on peut définir est inférieur ou égal à N.

Si on prend les points A,B,C et D  de coordonnées respectives (0,a), (0,-a), (b,0) et (-b,0) (avec 0<a<b)

Alors tout point M de coordonnées (x,0)  (avec x réel) est à une distance d1=racine(x²+a²) de A et B et à une distance d2=racine(x²+b²) de C et D et centre d'une rocade de rayon (d1+d2)/2 passant à égale distance des points A,B,C et D

Et comme il existe une infinité de point M de on aura une infinité de rocades.

Le fait de dire « rajouter la condition "les villes sont alignées" ne peut être autorisé car un exercice doit se prendre dans le cas général en l'absence de précision contraire »  est une erreur de logique.

Il ne s'agit pas ici de démontrer un cas général à partir d'un cas particulier, mais d'utiliser un cas particulier pour montrer que la solution que l'on avait trouvée n'est pas optimale.

Il est certain qu'avoir une infinité de solutions rend le problème beaucoup moins "beau", mais il suffit de corriger l'énoncé en ajoutant  "les quatre villes n'étant pas toutes alignées" pour rétablir la beauté de l'exercice (avec 7 solutions maximum)


Je me souviens avoir planché sur ce problème qui avait été posé en avril 1989 lors de la demi-finale du championnat de Jeux mathématiques organisé par la FFJM.  (Souvenirs, souvenirs)