Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau 3 *
Partager :

DEFI 205 : C'est épatant !***

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
10-04-08 à 14:26

Salut !

J'ai choisi un nombre entier positif N inférieur ou égal à 100.

J'ai ensuite choisi un certain nombre S d'entiers consécutifs immédiatement supérieurs à N : N+1, N+2, .... , N+S.

J'ai alors choisi un certain nombre R d'entiers consécutifs immédiatement inférieurs à N : N-1, N-2, .... , N-R.

Enfin, j'ai calculé le produit P1 des S entiers supérieurs à N et le produit P2 des R entiers inférieurs à N.

1. Sachant que P1=P2, sauriez-vous, tel un magicien, deviner le nombre N ?

2. Y a-t-il plusieurs solutions ?

En parlant de magicien :

DEFI 205 : C\'est épatant !

Bonne réflexion.

minkus

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 10-04-08 à 16:16

gagnéIl y a une solution pour N et S et deux solutions pour R :
N=7, S=3 avec R=5 ou R=6 (produit=720)

Posté par
toddsalim
salut 10-04-08 à 16:38

perdusalut

salut

Posté par
Tolokoban
7 10-04-08 à 17:19

gagné\fbox{N = 7}

En effet, on a 2*3*4*5*6 = 720 = 8*9*10 = (2*2*2)*(3*3)*(2*5)
= 2*3*(2*2)*5*(2*3)

Pour la deuxième question, ça dépend de la signification de "N est un entier positif".
Si on considère que 0 n'est pas un entier positif, alors 7 est la seule solution pour N <= 100.

Sinon, on peut prendre N = 0 et on trouve alors une infinité de solutions en choisissant R = S et R pair.

-1*-2 = 1*2
-1*-2*-3*-4 = 1*2*3*4
...


Comme je suis fainéant, je n'ai pas essayé de faire la démo mathématique de l'unicité du 7.
J'ai écrit le programme suivant (en espérant que c'est autorisé) :

        for (long n=4; n<=100; n++) {
            BigInteger p2 = BigInteger.valueOf(n - 1);
            for (long r=2; r<=n-2; r++) {
                p2 = p2.multiply(BigInteger.valueOf(n - r));
                long s = 1;
                BigInteger p1 = new BigInteger("" + (n + s));
                while (p1.compareTo(p2) < 1) {
                    if (p1.equals(p2)) {
                        System.out.println("(" + n + "-" + r
                                + ")...(" + n + "-1) = " + p1.toString()
                                + " (" + n + "+1)..." + "("
                                + n + "+" + s + ")");                            
                    }
                    s++;
                    p1 = p1.multiply(BigInteger.valueOf(n + s));
                }}}

Posté par
gui_tou
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 10-04-08 à 19:19

gagnéBonjour Minkus

Sauf grosse bêtise : 4$\magenta\fbox{\rm N=7. Là on a deux couples possibles pour R et S : 4$\magenta\rm\{S=3\\R=5 et 4$\magenta\rm\{S=3\\R=6.
En effet,

\rm\large 720 = 8\times9\times10 = 2\times3\times4\times5\times6 = 1\times2\times3\times4\times5\times6

1) N=7
2) Pas d'autres solutions pour N.


A+

Posté par
garenne
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 10-04-08 à 19:22

gagnéBonjour,

Zéro étant à la fois positif et négatif, et l'intitulé de la question ne précisant pas "N strictement positif", je propose :

Réponse 1 : N = 0

Réponse 2 : oui il y a plusieurs solutions

par exemple :

    (-1)*(-2) = 1*2

    (-1)*(-2)*(-3)*(-4) = 1*2*3*4

Posté par
veleda
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 10-04-08 à 21:30

gagnébonsoir,
aujourd'hui je vais essayer de ne pas écrire trop de sottises

*j'ai trouvé N=7 avec
P1=8.9.10=720     S=3
P2=2.3.4.5.6=720  R=5
j'ai remarqué:
qu'aucun des facteurs N+1,N+2,....N+S ne peut être premier car tout diviseur de P1divisant P2 P2admettrait un diviseur premier>N
les nombres N+1,N+2,......N+S sont donc situés entre deux nombres premiers consécutifs

si l'un des nombres N-1,N-2,.....N-R est premier P1est divisible par ce nombre ...

P1>NS et P2<NR=>NS<P1<NR
on en déduit queS<R

ces remarques m'ont permis de trouver que N=7 est solution
et je n'ai pas trouvé d'autres solutions parmi les 100 premiers entiers

merci pour cette énigme

Posté par
plumemeteore
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 10-04-08 à 22:17

gagné1. N = 7 car 8*9*10 = 6*5*4*3*2
2. Il n'y a pas d'autre solution.

Posté par
garenne
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 10-04-08 à 22:45

gagnéEn complément, si N est strictement positif, et inférieur à 100, il n'y a qu'une seule solution :

N = 7

puisque 2*3*4*5*6 = 8*9*10 = 720

Posté par
rogerd
DEFI 205 : C'est épatant !* 10-04-08 à 23:12

gagnéBonsoir Minkus! De plus en plus dur..
Ne trouvant pas de solution rusée, j'ai fait appel à Maple. N'importe quelle calculatrice programmable aurait d'ailleurs fait l'affaire car le programme est très simple. Il faut seulement veiller à ne pas manipuler des nombres trop grands et à regrouper les cas.

Je trouve donc que

la seule valeur possible pour N est 7 .

Les entiers supérieurs à 7 à utiliser sont 8,9,10, dont le produit est 720.

Les entiers inférieurs à 7 à utiliser sont 6,5,4,3,2 dont le produit est 720.

Posté par
jugo
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 11-04-08 à 01:10

gagnéBonjour,

En choisissant N=0, S pair et R=S, on a forcément P1=P2 et une infinité de solutions.

Avec N strictement positif < 100 (je suppose que c'était sous-entendu, je ne sais jamais si 0 peut être considéré comme positif), il ne faut pas qu'il y ait de nombre premier entre N+1 et N+S (puisque le produit P1 ne pourrait être divisible par aucun nombre < N), ce qui laisse très peu de cas à étudier.

Je trouve N=7 et 2 solutions :

- 2x3x4x5x6 = 8x9x10 = 720
- 1x2x3x4x5x6 = 8x9x10 = 720

Posté par
depassage
pas sur d'avoir bien compri mais jme lance 11-04-08 à 03:24

perduBonjour ! alors

11

12+13+14+15 = 54

10+9+8+7+6+5+4+3+2 = 54

je ne sais pas si il y a d'autre solution il est tard et j'irai pas plus loin j'ai que 13 ans : p dite moa au moin si mon idée est bonne

Bonne journée !!!

Posté par
torio
C'est épatant ! 11-04-08 à 11:17

gagnéUne seule solution pour N :     N = 7

(mais deux pour les séries choisies)
1*2*3*4*5*6 = 720   ou bien  2*3*4*5*6 = 720

et
8*9*10 = 720

A+
Torio

Posté par
master_och
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 11-04-08 à 11:38

gagnéBonjour Minkus

1- le nbre N "ne peut être "que N=7 avec S=3 et R=5 (ou R=6) ce qui donne 8x9x10 = 6x5x4x3x2.

2- Il n'existe aucune autre solution.

merci pour l'énigme .

Posté par
gloubi
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 11-04-08 à 12:33

gagnéBonjour,

1) N=7

2) Il n'y a qu'une solution ( c'est mon intime conviction )

A+,
gloubi

Posté par
kiko21
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 11-04-08 à 12:39

gagnéBonjour,

1. Le nombre N est 5$ \magenta \fbox{7}
2. Je ne pense pas qu'il y ait plusieurs solutions.

Merci et A+, KiKo21.

Posté par
dhalte
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 11-04-08 à 22:03

gagnéBonjour,
une seule solution
2*3*4*5*6=8*9*10=720

Pour limiter la recherche, on peut remarquer que s'il y a dans le produit de droite un nombre premier, il est > N, alors la décomposition de celui de gauche doit le contenir aussi, ce qui est impossible puisque tous les termes sont inférieurs à N.

Posté par
piepalm
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 12-04-08 à 10:30

gagnéRemarquons que S<R et que P2/P1 est alors une fonction croissante de N, rapidement supérieure à 1. L'égalité est impossible s'il y a un nombre premier parmi N+1,...N+S; or, il n'existe pas de séquence de nombres non premiers de longueur supérieure à 5 parmi les nombres inférieurs à 80 (7 pour les nombres inférieurs à 100, mais pour N>80 et S=6 ou 7 donc R>=7 ou 8, P2/P1>1), ce qui limite la recherche à S<=5
Avec ces observations, on constate que la seule possibilité est  S=3, avec N=7 et R=5 ou 6: P1=P2=720. Est-ce là une ou deux solutions?

Posté par
evariste
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 12-04-08 à 17:11

gagnéune seule solution : N=7

Posté par
Labo
DEFI 205 : C'est épatant ! 15-04-08 à 19:10

gagnén=7
r=6
s=3
6! = 720
8*9*10 = 720

1 seule solution

Posté par
lo5707
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 16-04-08 à 09:15

gagnéBonjour

Je trouve N=7, avec S=3 et R=5.
On a bien: 8*9*10 = 6*5*4*3*2 = 720

Je ne trouve que cette solution. (je n'ai pas cherché au delà de R=18...)
Si bien sûr la question se rapporte à N, sinon, il y a la solution N=7; S=3; R=6.


Merci pour cette énigme.

Posté par
ThierryMasula
DEFI 205 : C'est épatant ! 16-04-08 à 20:28

gagnéBonsoir Minkus,

Je crois pouvoir faire mieux que deviner et affirmer que le nombre N vaut 7.
Et il s'agit de la seule solution à l'énigme !

C'est en effet épatant...

Posté par
laotze
re: c'est épatant! 18-04-08 à 23:40

perduBonne nuit:

Euh:

1) tel un magicien, (^^"), je dirai que N=0.

2)Cherchons d'autres solutions possibles:

N est entier positif inférieur ou égal à 100:

et pour tout N<R avec R un entier positif:
il existe N-i=0 avec i entier positif inférieur à  R

Donc, pour tout N entier entre 1 et R: (N-1)(N-2)...(N-R)=0

or (N+1)(N+2)...(N+S) est non nul, donc N est compris entre R et 100.

or quel que soit N entre R et100:

(N-1)(N-2)...(N-R)<(N+1)(N+2)...(N+S)

Donc la solution de départ est unique: N=0


NB:

L'image est-elle une allusion à cette réponse ou est-ce que j'ai un poisson?

Posté par
carpediem
défi 205 24-04-08 à 01:26

perdubon je me lance (?) j'ai une idée !!

PROP1: entre 0 et 107 l'écart maximal entre deux nombres premiers consécutifs est 6.

DEM: faites le crible

PROP2: r < n

DEM: si r > n alors P2=0 et P1>0 par définition de P1

PROP3: P1 et P2 sont strictement positifs

DEM: utiliser la PROP2 et la définition de P1 et P2

LEM1:

Posté par
carpediem
défi 205 24-04-08 à 01:27

perdudésolé mais regardez la suite je reprends

Posté par
spencer
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 24-04-08 à 02:16

perduje ne vois qu´une seule solution: 0

Posté par
carpediem
défi 205 24-04-08 à 02:22

perduPROP1: entre 0 et 107 l'écart maximal entre deux nombres premiers consécutifs est 6.

DEM: faites le crible

PROP2: r < n

DEM: si r >= n alors P2=0 et P1>0 par définition de P1

PROP3: P1 et P2 sont strictement positifs

DEM: utiliser la PROP2 et la définition de P1 et P2

On note p le premier nombre premier supérieur strctement à n

LEM1: s<6

DEM: si s>=6 alors d'après la PROP1 p est facteur de P1 et pas de P2 donc P1<>P2 pour des raisons de divisibilité

LEM2: s+1=<r<n

DEM: si r=<s alors puisque les facteurs de P2 sont strictement inférieurs à ceux de P1 on a P2<P1 donc P1<>P2

LEM3: s>=2 (ie P1 contient au moins 2 facteurs)

DEM: si s=1 alors P1=n+1 alors P2 n'existe pas d'après sa définition car pour tout n : n+1 <> (n-1)(n-2)...(n-r)

LEM4: si P2 contient un nombre premier q (<>2) alors P1 doit contenir au moins son double soit 2q
(et <>2 car un nombre sur 2 est pair)

DEM: pour des raisons de divisibilité P1 et P2 possèdent dans leur décomposition en nombres premiers les mêmes nombres premiers et à la même puissance

LEM5: pour n=<10 il n'y a pas de solution

DEM: à vérifier (j'espère quej'ai raison!!) enfin d'après la fréquence de nombres premiers inférieurs à 10 j'en suis presque sur?!?!

LEM6: si n n'est pas premier alors s<2

DEM: si s>=2 alors d'après le LEM2 r>=3 donc P1=(n+1)(n+2)...au moins et P2=(n-1)(n-2)(n-3)...au moins
avec n nom premier et la PROP1 on a forcément un nombre premier dans l'un des produits
soit c'est n+2 et le LEM1 nous permet de dire qu'il n'y a pas de solution
soit c'est n-3 donc d'après le LEM 4 il est aussi dans P1 sous la forme (au moins) 2(n-3)
et si n>10 alors 2(n-3)>14 et d'après le LEM3 et les nombres premiers 11 et 13 il n'y a pas de solution


DEM générale:
n=<10 : pas de solution

n>10 : si n'est n'est pas premier les LEM3 et LEM6 sont contradictoires donc il n'y a pas de solution

n>10 : si n est premier: P1=(n+1)(n+2)...au moins et P2= (n-1)(n-2)(n-3)... au moins
on vérifie qu'il n'y pas de solution
Donc on et obligé de rajouter un facteur au moins à P2 mais alors on peut utiliser ce qui a été fait pour n non premier

CONCLUSION: il n'y a pas de solution sauf la solution n=0 et r=-s et r pair et alors s!=(-r)! (factorielle)

car 0 est positif et inférieur à 100

Bon voila j'espère que je n'ai pas fait d'erreur et que vous prendrez en compte (à tord ou à raison) cette réponse (enfin surtout si c'est vrai) malgré les deux envois précédents qui sont dus à une erreur de frappe

je vous en remercie par avance

sinon peut-on faire ça sur Word (par exemple) et vous l'envoyer, ça éviterait ce genre de maladresse

Posté par
Eric1
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 24-04-08 à 19:53

gagnéJe tente:

J'avais trouvé manuellement N=7; S=3 et R=5(ou 6).


Un programme me pousse à penser que N=7 ets la seule solution (si N<=100)

Posté par
simon92
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 24-04-08 à 19:58

juste pour dire que l'image était top! bravo a l'élève^^

Posté par
isisstruiss
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 24-04-08 à 21:40

gagnéBonjour,

Je n'ai trouvé qu'un seul N remplissant ces conditions, à savoir N=7.
(Par contre on peut prendre R=5 ou R=6.)

Isis

Posté par
gagou2713
*challenge en cour* 29-04-08 à 17:58

perdu1- N = 500

2- oui il y a plusieurs solutions

Posté par
matovitch
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 04-05-08 à 16:24

gagnéBonjour !

Voici mes réponses :

1) N = 7 avec S = 3 et R = 5 (ou 6)

2) Non. Je ne pense pas,car un nombre premier ne peut apartenir au produit P1, or ils sont assez rapprochés avec des nombres si petits...

Posté par
yoyodada
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 06-05-08 à 19:06

gagnéN = 7, S = 3 et R = 6

En effet, (7-1) * (7-2)*...(7-6) = (7+1) * (7+2)*(7+3) = 3628800


Cette solution est unique

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 11-05-08 à 15:24

Salut,

"7 épatant" en effet, étonnant non ?

DEFI 205 : C\'est épatant !

minkus

Posté par
lo5707
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 10:11

gagnéBonjour,

Ce qui est épatant, c'est que pour la question 2, deux réponses soient acceptées:
1. Il n'y a qu'une solution.
2. Il y a plusieurs solutions. voir -> DEFI 205 : C'est épatant !

Combien y a-t-il de solutions finalement?

Posté par
mikayaou
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 10:28

bonjour

juste deux questions :

1 - quand on dit positif, sans préciser, ça peut aussi être nul, non ? ( sinon, on dit strictement positif) ?

2 - minkus, aurais-tu alors accepté la réponse :
¤ N = 0
¤ P = R = 2k ( entier pair )

Posté par
lo5707
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 10:30

gagnéOui Mika, regarde la réponse de garenne (voir mon lien ci-dessus)

Posté par
mikayaou
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 10:33

ok, merci lo j"avais pas lu ton lien ( ni le reste des posts, d"ailleurs )

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 12:26

Salut,

Pour moi c'est la valeur de N qui était intéressante pour son unicité. Ensuite le fait que la neutralité multiplicative du 1 donne deux solutions importe peu...

Si j'ai accepté la réponse de garenne, c'est parce qu'il a fourni la réponse 7 environ 3 heures plus tard.

En revanche spencer, qui s'est contenté de 0, a eu un

Posté par
lo5707
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 12:30

gagnéok, mais pourtant 0 est une réponse acceptable...

Posté par
mikayaou
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 13:26

je le pense également

Posté par
garenne
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 21:21

gagnéSalut,

sur le moment, et n'ayant pas beaucoup de temps, la réponse N=0 m'avait paru évidente (au vu de l'énoncé).
Un peu plus tard j'ai cherché une "vraie" solution (trois étoiles pour répondre N=0 me paraissait un peu léger).
Désolé d'avoir semé la zizanie .

Posté par
yoyodada
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 13-05-08 à 21:40

gagnécomment démontrer vraiment l'unicité du 7 ?

J'ai pensé à partir des factorielles, mais ca ne m'a pas donné grand chose de convaicant !

Posté par
piepalm
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 14-05-08 à 15:06

gagnéà yoyodada:
je pense avoir montré l'unicité (voir ma solution), puisque je montre que s<=5, et que l'on peut calculer exhaustivement les possibiltés correspondantes.

Posté par
yoyodada
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 14-05-08 à 20:04

gagnéeffectivement, je n'avais pas lu ton message.
Merci

Posté par
matovitch
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 04-06-08 à 13:49

gagnéBonjour à tous! (je fais remonter une antiquité)

Juste pour vous faire remarquer une énorme coïncidence :

pendant la durée de cette énigme, j'ai reçu un DM, avec comme obserevation principale : "Encore quelques tours de magie non élucidés dans ce devoir"
et plus loin : "de la pure magie ??"

Enorme non ?!

Posté par
mikayaou
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 04-06-08 à 14:37

étonnant MV -bonjour-

ce qui est plus étonnant encore, à relire les propositions à cette énigme, est que [sauf erreur] seul piepalm a justifié l'unicité de la solution...

mais, un seul smiley à cette énigme, ça l'aurait pas fait

Posté par
matovitch
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 04-06-08 à 14:54

gagnéBonjour mika!

Exact mika...(tu remarquera que je l'avait "intuité")

De plus, est-ce que tu pourrais pas donner la solution pour la JFF sur will...merci

Posté par
mikayaou
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 04-06-08 à 14:59

En effet, vous êtes quelques un(e)s à avoir dit "qu'il vous semblait que..." ou autre formule alambiquée

En revanche, d'autres n'ont pas pris vos précautions et l'on affirmé péremptoirement...

Sinon, il me faut un peu de temps pour la rédiger "proprement"; et là, à l'instant t, je n'en ai pas trop...promis, j'y pense, si je n'oublie pas

Posté par
simon92
re : DEFI 205 : C'est épatant !*** 04-06-08 à 22:04

je sais pas si je l'ai déjà dis, mais bravo minkus pour cette image de copie que j'ai trouvé vraiment très amusante^^

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 138:54:44.
Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !