Bonjour

L'étude de fonction est rebarbative. Surtout celle des polynômes et des fractions rationneles . Lorsqu'on connait la méthode on sait toutes les étudier (bien qu'aprés il peut y avoir complications lorsque le degré de la dérivée dépasse le 4).

Que voudrais-tu exactement qu'on te donne ? Une étude de fonction bien bourrante est totalement inutile ? (sache qu'en post-bac , les études de fonctions bien lourdes qu'on vous donnes au lycée n'existent plus ou presque pas)
Ou alors voudrais-tu plutot un sujet d'analyse qui pousse à réfléchir et à savoir appliquer ce qu'on a appris de l'étude de fonction ?


Jord

slt night , alors pour répondre à ta question je souheterai tt de même une étude de 12 fonctions , pourquoi? pour apprendre à manipuler parfaitement les outils qui vont avec , tableaux de variations , calcul d'intégrale , asymptotes...donc oui une étude de fonction bien bourrante . Ceci dit je serai très curieux de savoir ce que tu veux dire par un sujet d'analyse qui pousse à réfléchir , tu veux dire un problème dans lequel je dois reconnaitre un modèle et ensuite l'appliquer? oui avec joie aussi , si j'arrive déjà à étudier les 2 fonctions sans faire de fautes...
Je suis ok pour prendre les 2 , étude bourrante et analyse , tant que ça reste de mon niveau bien évidemment...

une étude de 2 fonctions ( polynome et quotient ) , pas 12 , erreur de frappe lol

Dans ce cas là :

I)
1)Etudier l'application :

2)Calculer l'intégrale de P entre 0 et 5
3)Trouver x de telle maniére qu'on obtienne -1 lorsqu'on somme P entre 0 et x

II)
1) Etudier l'application :

2) Décomposer Q en élément simple élément simple et en déduire ses éventuelles asymptote oblique
3)Calculer toutes les primitives de Q , donnez celle qui s'annule en 3

III)Une petite démonstration de cours :
Démontrer que toute fonction dérivable en a est continue en a

IV)Soient continues telles que :
et

Montrer que quelque soit le réel positif , il existe un x de [0;1] tel que


Jord

Je commence par le 1er exercice



I)

le domaine de définition est R , vu que c'est un polynome , il n'y a pas d'asymptotes dans un polynome à ma connaissance...

sa dérivée est f'(x) = 12x² - 6x - 2 , on calcule les racines de la dérivée pour savoir quand la dérivée est nulle , donc :

discriminant = 132 , les racines sont -0.23 et 0.73

tableaux :

x----------  -inf ------   -0.23 ------ 0.73 ------ +inf
f'(x)          +-------------0***** -  * 0   -- + ---                                    
f(x)  croissante , nulle , décroissante , nulle , croissante


f(x) = 4x³-3x²-2x+1 , donc on calcule sa primitive :

F(x)= (4x^4)/4 - 3x³/3 - 2x²/2 + x = x^4 - x³ - x² + x

Intégrale entre 0 et 5 c'est F(5) - F(0) , soit F(5) , ça nous fait :

480 .

Je n'ai strictement rien compris à la question 3 et je n'ai jamais vu çà , tu vois que j'ai bien fait de demander un défi , j'étais certain que j'allais bloqué...

Re

Si tu préféres pour la question 3) , remplaces somme par intégre

Je vérifie ce que tu as fait


Jord

Un petit changement de derniére minute suite à une erreur de correction , pour le 3) c'est obtenir 6 que l'on veut


Jord

Euh , si tu connais cardan pour le 3) il y a deux solutions , si tu ne connais pas cardan alors contentes toi de donner une solution pour le 3)


Jord

donc si doit trouver une intégrale qui est égale à 6 en intégrant la fonction entre 0 et un nombre x , je ferai ceci F(x) - F(0) = 6

F(x) = 6 , x^4 - x³ - x² + x = 6 , c'est chaud à résoudre comme équation , je ne connais pas les résolutions avec des degrés si haut...

Cherches une solution évidente

Pour ce qui est du reste c'est bon , mais il me manque le calcul de limite .


Jord

"cherche une solution évidente" lol , ben je vais yaller par essai , étant donné que ya une infité de nombre je vais commencer par le 2 , vu qu'avec le 1 c'est mort , alors on essaye : et avec le 2 ça marche

héhé

Voila tu as une solution

Tu peux t'attaquer au II)


Jord

oui c'est cool j'ai la solution mais imagine que le nombre à trouver était 50 par exemple , tu me voyais effectuer 50 fois la même méthode? , donc j'attaque le 2 :

f(x) = (x²+1)/(x-1)

alors moi j'ai pour habitude de faire en 1er la réécriture plus simple de la fonction , çà me parait logique , je sais pas ce que t'en pense , donc je fais la division des polynomes et j'obtiens  .. à bon non tiens là j'y arrive pas en posant le truc classique de la division , pas grave .

alors on calcule la dérivée :

f'(x) = (x²-2x+1) / (x-1)² , la dérivée s'annule si le numérateur = 0  et elle n'existe pas si le dénominateur = 0 , donc on voit direct une asymptote verticale , x = 1 , ensuite on résoud x²-2x+1 = 0 , le discriminant est nul donc il n'y a pas de racines , donc si je comprends bien on devrait avoir -b/2a , mais ça me donne 1 , et en 1 on a une asymptote , oh là là je galère un peu sur une fonction aussi simple

Oulala !! niveau rigueur c'est pas top !!

Tout dabord : "oui c'est cool j'ai la solution mais imagine que le nombre à trouver était 50 par exemple , tu me voyais effectuer 50 fois la même méthode?" j'ai pas compris

Ensuite , il manque beaucoup de chose dans ton études :
Ensemble de définition , calculs de limites puis avant de dériver occupes toi de l'ensemble de dérivation.

Ensuite , depuis quand déduit-on une asymptote en étudiant la dérivée ?
Autrement , il y a une erreur dans ta dérivée , c'est plutot :

Quoi qu'il en soit depuis quand n'y a-t-il pas de solution lorsque le discriminant est nul ?

Bon , reprends tout ça calmement


jord

Je n'avais pas dû tout fini l'étude je le sais bien , enfin j'ai mal commencé , trop de désordre en effet !



Le domaine de définition est évident , c'est l'ensemble des réels sauf 1 , par contre moi j'ai tjs appris à dériver et je n'ai jamais entendu parler de l'ensemble de dérivation , oh la la je sens que la colère commence à monter , j'ai bien fait de demander ce test , ça prouve mes lacunes , mais faut dire j'ai pas du tt appris comme sur les fiches de maths du site , enfin bref , on va essayer de la faire . Mais ya une chose qui m'échappe complètement ici . La dérivée est nulle si le numérateur est nul on est d'accord? hors ici le discriminant de x²-2x-1 est nul , donc on a une seule solution -b/2a , et cette solution ne peut pas aller puisque c'est 1 , donc l'asymptote...

ah bon , le discriminant de x²-2x-1 est nul ? es-tu sur ?

Tu ne te rappelles pas des phrases telles que " f est dérivable sur ... " ? c'est cela que je veux que tu dises lorsque je te demande l'ensemble de dérivation.


Jord

discriminant = b² - 4ac , ici c'est :

4 - 4*1*-1 = 4 - 4 = 8 , mince! , donc les racines seront :

-0.4 et 2.45 , je suis faitgué , j'essayerai de me lever tôt demain matin et de boucler cet exercice , par contre , je confirme nettement que je ne me souviens pas des phrases f est dérivable sur...et je sens que je vais galérer un peu pour tracer le tableaux de variations , car sans le dessin , comment savoir si f est croissante ou décroissante sur -inf -0.4 par exemple , enfin laisse moi chercher un peu demain matin , je suis certain que je peux trouver la solution .
Encore merci c'est très sympa de ta aprt ce petit test , ça me sera très profitable , bonne nuit

Re

Eh bien , tu n'as pas vu le signe d'un trinôme en cours ? c'est étonnant !

Pour ce qui est du "f est dérivable sur ..." je peux t'assurer que tu l'as vu même si tu t'en souviens par , c'est un point qu'aucun prof ne peut négliger. C'est même bizarre que tu te sois pas rendu compte par toi même qu'il manquait un élément à ton raisonnement.

Rappellons qu'une dérivée est une fonction , et que toute fonction admet un ensemble de définition. Donc lorsque tu te préocupes de son signe , il faut aussi te préocupé de l'intervalle sur lequel tu l'étudies.

Si tu te souviens de ton cours , la notion de dérivée est associé au nombre dérivé. En effet , la dérivée d'une fonction f n'est autre que la fonction qui a x associe le nombre dérivée de x par f.
Mais comme tu peux t'en douter , ce nombre dérivée n'existe pas toujours (exemple connue , 0 n'a pas de nombre dérivé par la fonction racine carrée) . On dit alors que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Aprés , les profs étendent la notion de dérivé aux intervalles et vous apprennes alors qu'on dit qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout élément de I.
Les éléves se rendent vite alors compte que l'ensemble sur lequel est dérivable la fonction (lorsqu'il est non restreint) n'est autre que l'ensemble de définition de la dérivée.

On apprends alors aux éléves les régles générales :

• Tout polynôme est dérivable sur


• Tout fonction irrationnelle est dérivable sur l'ensemble de définition de la fonction privé de l'ensemble des valeurs annulant le radicande


• Toute fraction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition (plus généralement , une fonction quotient est dérivable en toute valeur de son ensemble de définition privé de l'ensemble annulant son dénominateur)


• Les fonctions circulaires usuelles sont dérivables sur leur ensembles de définition

(re)Bonjour  :p

Nightmare, qu'apelles tu fonction "irrationnelle" ?
La composé d'une fonction u par la fonction racine carré ?
Si oui,une telle fonction est dérivable en x tel que u dérivable et strictement postive.


plus généralement , une fonction quotient est dérivable en toute valeur de son ensemble de définition privé de l'ensemble annulant son dénominateur

Une telle fonction est plutot dérivable sur tout ensemble sur lequel sont dérivables numérateur et dénominateur, privé de l'ensemble des réels annulant sont dénominateur.
Mais tu as du faire une erreur parce qu'en principe l'ensemble de définition d'un quotient de contient pas de valeurs pouvant annuler son dénominateur. (ou alors je t'ai mal compris )

alors Q est dérivable sur R sauf sur 1

x------  -inf---  -0.4 -- 1 -- 2.45 -----   +inf
f'(x)------  + -------  - |  -  ----  + ------
f(x) croissante , décroissante , décroissante , croissante


j'ai applliqué les règle pour les polynomes du second degré , au passage je me demande comment est le tableau quand la dérivée est un polynome du 3ème degré , on l'étudie en terminale?

puis pour les limites ben je ne sais pas , faut dire quand x tend vers -0.4 , y tend vers ? suffit de regarder le schéma , car par le calcul  :/

Pour décomposer Q en élément simple je t'avoue que je n'ai pas réussi à faire la division euclidienne du polynome car en x² , combien de fois x? ben x , donc on fait (x²+1)  - (x²-x) , mais je peux pas soustraire x de 1 ( j'applique la méthode qu'on apprend à l'école primaire pour les divisions ) . Je vais essayer de réfléchir encore un peu...

Oui en effet nil j'ai fait quelque erreurs , mais à 2:40 il faut me pardonner et puis c'est assez difficile de le faire avec des mots aussi.

Si tu préféres la version mathématique :

soient u et v deux fonctions
(n'existe que si u(x) est positive) est dérivable sur
(n'existe que si v(x) est non nul) est dérivable sur

Bon pour ce qui est de tes réponses apprenti .

Tout dabord , à quel moment dans un de mes messages as-tu vu que j'ai écrit est dérivable sur x où x est un élément ?
Une fonction est dérivable sur un intervalle et en un point.
Si tu veux dire que ta fonction est dérivable sur mais n'est pas dérivable en 1 , tu le dis soit de la maniére dont je viens de le faire , soit tu dis qu'elle est dérivable sur

Pour le calcul de limite , pourquoi diable veux-tu calculer la limite en -0,4 ? Ce sont les limites de la fonction normale que je veux moi , pas de la dérivée. Et ce sont les limites aux bornes de l'ensemble de définition (sinon c'est inutile , la fonction étant continue sur celui-ci)

Pour ce qui est de la décomposition en élément simple , je ne comprends pas ce que tu as fait.
On a :

donc


Allez , refais tout ça , et la prochaine fois essaye de mieux rédiger


Jord

Bon j'ai du mal décidémment avec la dérivabilité moi

Je REREprends

si u(x) est dérivable sur E , v(x) est dérivable sur F et non nulle sur I , alors est dérivable sur

voila
jord

non je regrette je ne sais pas diviser ces 2 polynomes , je ne vois vraiment pas ce que tu as fait , c'est grave tu vois , je comprends bien les concepts d'adymptotes mais tu vois je manipule mal l'outil numérique donc c'était pas inutile de faire çà .

On pose la division comme on faire en primaire , à gauche x²+1 , à droite x-1 :

en x² combien de fois x ? x fois , donc on a :

  x²+1
-(x²-x)

x²-x² ça fait 0 mais on peut pas retirer -x à 1 , je vois vraiment pas , et je ne vois pas du tt ce que tu as fait , j'ai presque envie d'abandonner tellement ça m'énerve , tu as utilisé une factorisation canonique? mais c'est une division ici...

Si tu n'y arrives pas , procéde par identification .

Cherches les réels a , b et c tels que Q puisse s'écrire :


Pour ce qui est de ma méthode , c'est une division euclidienne pareille que la tienne.

Dans x² combien de fois x-1 ? x fois , et il reste x²-x(x-1) c'est à dire x

(en effet pour calculer le reste d'une division , tu soustrait au dividende le produit du quotient et du diviseur , c'est ce que j'ai fait)

Donc on peut écrire :


Ensuite , dans x , combien de fois (x-1) , et bien une fois , et il reste x-1*(x-1) c'est à dire 1
On peut ainsi écrire :


Ainsi :

donc

c'est à dire :

on en déduit :


Voila

Jord

bon je comprends tout sauf ceci , quelle est le nom de cette méthode que tu as utilisé pour trouver c :

Ainsi :

donc

c'est à dire :

on en déduit :


enfin le truc de la fin quoi

F(x) = x²/2 + x + 2ln(x-1) + K

alors celle qui s'annule en 3 c'est :

9/2 + 3 + 2ln2 + K = 0
8.9 + K = 0
K = -8.9 , donc je dirai que la primitive qui s'annule en 3 est :


F(x) = x²/2 + x + 2ln(x-1) - 8.9

PS : je serai très curieux que tu m'expliques juste la fin pour la division euclidienne , j'ai très bien compris le x+1 , mais pour c tu trouves 2 et tu as écris pleins de trucs que je n'ai jamais vu , je me demande si tu utilises des méthodes de 1ères à vrai dire

L'exercice 2 est bouclé !

Re

Ou ais-je utilisé quelque chose que tu n'as pas appris ?

J'ai trouvé que :

donc :


Il n'y a rien de compliqué la dedans

ben quand tu commences à écrire :

ainsi x²= x(x-1) + (x-1) + 1 , pourquoi poser x² =...moi j'ai jamais vu çà en tt cas ...

tu me disais également , écrire la fonction comme ceci :

ax + b + c/(x-1)

en mettant au même dénominateur j'obtiens :

ax²- ax + bx + b - c = x² + 1 , en 1ère je ne sais pas résoudre cette équation , 3 inconnues sur une ligne ça fait pas mal , quoi qu'il en soit pour l'exercice 2 j'ai été très surpris car d'habitude je sais très bien étudié une fonction sous forme de quotient mais celle là à mon avis tu l'as choisi exprès car elle était très piègeuse

>Apprenti

ax²- ax + bx - b + c = x² + 1 (attention aux erreurs de signe)

doit être vrai quelque soit x

(a-1)x² + (-a+b)x +(-b+c-1) = 0

il faut alors, puisque cela doit être vrai qqsoit la valeur de x :

a-1 = 0
-a + b = 0
-b+c-1 = 0

a=1
b=1
c=2


Philoux

Non elle n'est pas du tout piégeuse , je l'ai choisis au pif ...

COmme l'a indiqué philoux , il faut procéder par identification. Tu as du voir ça en cours. Visiblement tu as oublié pas mal de choses de ce que tu as appris cette année. Si tu veux pouvoir suivre en terminale il va falloir que tu revoies tout ça car en terminale tu n'auras plus le droit à ces erreurs.
Pour ce qui est de la division polynômiale ne t'obstine pas à la comprendre, de toute façon elle ne fait pas partie du programme officiel donc concentre toi plutot sur ce dont tu as vraiment du mal et qui te couleront l'année prochaine si tu ne fais rien pour te rattraper.

Laisse tomber les exos III] et IV] , si tu n'arrives pas a faire une étude de fonction tu n'arriveras encore moin à faire ceux là. Entraine toi a faire des études et quand tu te sentiras prés tu pourras revenir me voir


Jord

Pas de problème , je vais surtout revoir l'identification car çà m'intéresse , j'espère qu'il y a une fiche de maths sur çà sur le site , encore merci night d'avoir pris de ton temps pour m'aider .

Pas de probléme

Pour l'identification on en a parlé de nombreuses fois sur le forum , c'est un exercice type ne premiére


Jord

Si je ne me trompes pas Apprenti tu est en STI ?

C'est bien ça ?

non je ne suis pas en sti , je suis en général , mais pour moi tous les bacs se vallent , je connais un mec qui a fait un bac stt , maintenant il est chercheur au cnrs , il a un doctorat en intelligence artificielle , et il a bossé seul ses maths pour attraper un très bon niveau . Donc pour moi les maths en S ou sti , ou ES sont globalement du même niveau , on approfondi un peu plus en S d'accord mais d'après certains grands mathématiciens , les véritables maths commencent en maitrise ou DEA , donc autant dire que là on fait quasiment pas de maths

Ah ? Parceque j'avais souvenir de pas mal de topic parlant d'électronique et de méca

Euh pour ce qui est du niveau en STI <-> S, je ne suis pas trop d'accord moi j'ai choisi STI à cause de l'histoire, du français et des langues (c'est mon avis perso) non c'est fifty-fifty enfait.

Je ne voulais en rien remettre en cause ton niveau, bien au contraire du moment que tu progresses...

ya pas de soucis soucou et tu sais je suis le 1er à dire qu'en maths un mec de sti vaut un mec de S , pour la mécanique tu l'étudies en général , d'ailleurs dans la science ya bcp de mécanique , mécanique des fluides , mécanique newtonienne , mécanique quantique ( c'est vraiment chaud çà ) . a+

PS : en effet moi mon but c'est de progresser , mais tu sais j'ai du mal à me concentrer , et je manque d'entrainement et bcp de rigueur , je suis très distrait , mais bon pour tt le monde faut du travail , andrew wiles a mis des années à démontrer le théorème de fermat , et dieu sait si il est une bête en maths

Oui, c'est sur moi j'ai encor une année de méca à faire après soit je me dirige vers les maths soit vers l'éctronique...

Ceci dit une grande partie des propriétés, théorèmes, relations (et j'en passe), mathématiques sont ancéstrale, enfin j'éxagère peu être un peu. Ce que je veux dire par la c'est que les trucs nouveaux sont carèment inabordable pour n'importe quel scientiste.

Bon revenons au sujet initial

Bonjour !

Nightmare, je suis à nouveau pas d'accord avec la dérivabilité des fonctions x->Racine(u(x)) qui est plutot dérivable sur
E = {x€R / u dérivable en x et u(x)>0}
et la fonction u/v qui est dérivable sur F = {x€R / u et v dérivables en x et v(x)<>0 }

voila :p

Oui , j'ai rectifié la deuxiéme mais pas la premiére désolé

Merci Nil


jord