Bon aller hop, aujourd'hui est un nouveau jour, je vais surement trouver la solution.
Ben disons qu'hier était mon dernier jour de vacances et que je l'ai passé quasiment entièrement sur ton équation.
Donc si tu en reposes une aussi dure, je doute de trouver le temps de la faire au boulot.
Oups désolé d'avoir pris ton temps de vacances
Non la nouvelle n'est pas dure c'est moi qui l'est inventée
Après avoir passé trois jours sans mangé ni dormir, xtasx sort enfin de la cellule dans laquelle il était enfermé.
Une barbe de 3 jours et l'air très affaibli, il va alors voir le garde au bout du sombre couloir, et d'une voix tremblante et presque inaudible lui dit :
"a = 2 et f = id ?"
Il venait de retrouver le royaume des vivants...
Voila la solution :
Propriété P(x,y) : f(x^2 + y + f(y)) = (f(x))^2 + ay
On écarte a = 0 car on a alors plusieurs solutions (par exemple f(x)=0 ou f(x) = 1)
1) f est surjective :
P(z, (x-(f(z))^2)/a ) ==> f(...) = x ==> f est surjective
CQFD
2)Si f(x) = f(y) <= 0, alors x = y
Soit v = f(x) <=0. P(sqrt(-v),x) ==> f(-v + x + f(x)) = (f(-sqrt(v)))^2 + ax ==> x = (v - (f(-sqrt(v)))^2)/a et donc x est unique !
CQFD
3) f est impaire
Soit f(x0) = u, f surjective implique qu'il existe x1 tel que f(x1) = -u ==> Donc f(x0)^2 = f(x1)^2
En prenant y tel que f(x0)^2 + ay < 0, on a f(x0^2 + y + f(y)) = f(x1^2 + y + f(y)) < 0, et donc, d'après 2), x0^2 = x1^2.
Si u est non nul, f(x0) <> f(x1) et on ne peut avoir x1 = x0, et donc x1 = -x0, et donc f(-x0) = - f(x0)
Si u est nul et x0 nul, on a bien sûr f(-x0) = - f(x0)
Si u est nul, x0 non nul, et f(-x0) non nul, on a f(-(-x0)) = - f(-x0) non nul, donc contradiction ==> f(-x0)=0 ==> f(-x0)= - f(x0)
CQFD
4) f est bijective
Si f(x) = f(y) <= 0, x=y d'après 2)
Si f(x) = f(y) >=0, f(-x) = f(-y) <= 0 d'après 3), et donc -x = -y d'après 2) et donc x = y
f est donc injective. Mais elle est aussi surjective d'après 1). Elle est donc bijective
CQFD
5) a= 2
f impaire ==> f(0) = 0
P(1,0) ==> f(1) = f(1)^2 ==> f(1) = 1 (on élimine f(1) = 0 puisque f est bijective et que l'on a déjà f(0)=0)
P(0,1) ==> f(2) = a
P(2,0) ==> f(4) = a^2
P(sqrt(2),0) ==> f(2) = f(sqrt(2))^2 ==> f(sqrt(2))^2 = a
P(sqrt(2),1) ==> f(2+1+f(1)) = f(sqrt(2))^2 + a ==> f(4) = 2a ==> a^2 = 2a ==> a=2 (a=0 a été écarté en tête d'exposé)
CQFD
Donc :
Si a = 0, il y a au moins deux solutions
Si a <> 0 et 2, il n'y a pas de solution
Il reste à voir si pour a = 2, il y a bien une solution et une seule (il y en a au moins une : f(x) = x).
Notons que P(x,0) ==> f(x^2) = f(x)^2
6) Pour a = 2, f(x+2n) = f(x) + 2n pour tout x >= 0
Pour x>=0, on a : P(sqrt(x),1) ==> f(x+2) = f(sqrt(x))^2 + 2 = f(x) + 2 ==> f(x+2n) = f(x) + 2n
CQFD
7) Pour a=2, f(x) = x pour tout x entier relatif
Comme f(0) = 0, 6) implique f(2n) = 2n
Comme f(1) = 1, 6) implique f(2n+1) = 2n+1
D'après 3) f est impaire, ce qui clôt la démonstration
CQFD
8 ) Pour a=2, f(x) = x pour tout rationnel
Soient p et q deux entiers naturels, q non nul
f((p/q + 2q)^2) = f((p/q)^2 + 4p + 4q^2) = f(p/q)^2 + 4p + 4q^2 (en utilisant 6)
Mais f((p/q + 2q)^2) = f(p/q + 2q)^2 = (f(p/q) + 2q)^2 = f(p/q)^2 + 4qf(p/q) + 4q^2
L'égalité entre les deux expressions ci dessus implique f(p/q) = p/q
Le caractère impair de f clôt la démonstration
CQFD
9) f est strictement croissante
Pour x > 0, P(sqrt(x),0) ==> f(x) > 0 (le caractère strict est dû à la bijectivité)
Soit alors x1 et x2 dans R+ tels que f(x1) > f(x2)
Soit y = (f(x1) - f(x2))/a > 0
P(sqrt(x2),y) ==> f(x2 + y + f(y)) = f(x1) ==> x2 + y + f(y) = x1 (f est injective) ==> x1 - x2 > 0 (puisque y > 0 et donc f(y) > 0).
Donc f(x1) > f(x2) ==> x1 > x2 ==> f^[-1] est strictement croissante sur R+ ==> f est strictement croissante sur R+
En complétant avec le caractère impair (et le fait que f >=0 sur R+ et <= 0 sur R-), on clôt la démonstration.
10) pour a = 2, f(x) = x sur R
f bijection monotone est continue.
F, continue et égale à x sur Q est donc égale à x sur R
CQFD
Pour a = 0 : au moins deux solutions
Pour a = 2 : exactement une solution (f(x) = x)
Pour les autres valeurs de a : aucune solution.
L'ensemble cherché est {2}
La flemme de latexifier
Oui j'ai mis longtemps à tout lire et je suis OK
Merci d'avoir participé xtasx, pas comme certains (que je ne citerais pas ) qui se sont défilés...
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