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Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 03:15

Bon aller hop, aujourd'hui est un nouveau jour, je vais surement trouver la solution.

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J'attends que tu me dises si c'est bon, car j'ai tout à fait pu me perdre dans mes notations

Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 04:32

Hop un petit cailloux de plus à l'édifice :

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Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 04:54

On s'approche du  bout :

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Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 05:46

Premier pas vers la fin

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Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 06:11

Suite de l'injectivité :

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Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 09:30

Fin de l'injectivité : f est bijective.

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Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 09:51

Parité de f

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Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 12:49

Je vais regarder ça en détail dans la journée

Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 14:51

f identité sur un ensemble :

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Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 17:40

Bravo xtasx

Ta méthode est plutôt compliquée mais elle finie par aboutir

Posté par
1 Schumi 1
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 18:50

C'était justement ce que j'avais sur mon brouillon.

Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 17-07-07 à 18:53

Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 18-07-07 à 00:09

Sauf que je ne suis pas encore tout à fait au bout
Je finis ça ce soir.

Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 18-07-07 à 00:09

Oui mais tu as fait le plus dur

J'en ai postée une plus simple si tu t'ennuies après

Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 18-07-07 à 00:13

Ben disons qu'hier était mon dernier jour de vacances et que je l'ai passé quasiment entièrement sur ton équation.
Donc si tu en reposes une aussi dure, je doute de trouver le temps de la faire au boulot.

Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 18-07-07 à 00:14

Oups désolé d'avoir pris ton temps de vacances

Non la nouvelle n'est pas dure c'est moi qui l'est inventée

Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 18-07-07 à 00:17

Ouh la belle faute d'orthographe, j'en suis beaucoup moins fier du coup

Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 18-07-07 à 11:43

La fin de la preuve (qui a dit "déjà ?!!" )

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Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 18-07-07 à 11:48

     Après avoir passé trois jours sans mangé ni dormir, xtasx sort enfin de la cellule dans laquelle il était enfermé.
     Une barbe de 3 jours et l'air très affaibli, il va alors voir le garde au bout du sombre couloir, et d'une voix tremblante et presque inaudible lui dit :
"a = 2 et f = id ?"

Il venait de retrouver le royaume des vivants...

Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 19-07-07 à 02:18

Voila la solution :

Propriété P(x,y) : f(x^2 + y + f(y)) = (f(x))^2 + ay

On écarte a = 0 car on a alors plusieurs solutions (par exemple f(x)=0 ou f(x) = 1)
1) f est surjective :
P(z, (x-(f(z))^2)/a ) ==> f(...) = x ==> f est surjective
CQFD

2)Si f(x) = f(y) <= 0, alors x = y
Soit v = f(x) <=0. P(sqrt(-v),x) ==> f(-v + x + f(x)) = (f(-sqrt(v)))^2 + ax ==> x = (v - (f(-sqrt(v)))^2)/a et donc x est unique !
CQFD

3) f est impaire
Soit f(x0) = u, f surjective implique qu'il existe x1 tel que f(x1) = -u ==> Donc f(x0)^2 = f(x1)^2
En prenant y tel que f(x0)^2 + ay < 0, on a f(x0^2 + y + f(y)) = f(x1^2 + y + f(y)) < 0, et donc, d'après 2), x0^2 = x1^2.
Si u est non nul, f(x0) <> f(x1) et on ne peut avoir x1 = x0, et donc x1 = -x0, et donc f(-x0) = - f(x0)
Si u est nul et x0 nul, on a bien sûr f(-x0) = - f(x0)
Si u est nul, x0 non nul, et f(-x0) non nul, on a f(-(-x0)) = - f(-x0) non nul, donc contradiction ==> f(-x0)=0 ==> f(-x0)= - f(x0)
CQFD

4) f est bijective
Si f(x) = f(y) <= 0, x=y d'après 2)
Si f(x) = f(y) >=0, f(-x) = f(-y) <= 0 d'après 3), et donc -x = -y d'après 2) et donc x = y
f est donc injective. Mais elle est aussi surjective d'après 1). Elle est donc bijective
CQFD

5) a= 2
f impaire ==> f(0) = 0
P(1,0) ==> f(1) = f(1)^2 ==> f(1) = 1 (on élimine f(1) = 0 puisque f est bijective et que l'on a déjà f(0)=0)
P(0,1) ==> f(2) = a
P(2,0) ==> f(4) = a^2
P(sqrt(2),0) ==> f(2) = f(sqrt(2))^2 ==> f(sqrt(2))^2 = a
P(sqrt(2),1) ==> f(2+1+f(1)) = f(sqrt(2))^2 + a ==> f(4) = 2a ==> a^2 = 2a ==> a=2 (a=0 a été écarté en tête d'exposé)
CQFD

Donc :
Si a = 0, il y a au moins deux solutions
Si a <> 0 et 2, il n'y a pas de solution
Il reste à voir si pour a = 2, il y a bien une solution et une seule (il y en a au moins une : f(x) = x).
Notons que P(x,0) ==> f(x^2) = f(x)^2

6) Pour a = 2, f(x+2n) = f(x) + 2n pour tout x >= 0
Pour x>=0, on a : P(sqrt(x),1) ==> f(x+2) = f(sqrt(x))^2 + 2 = f(x) + 2 ==> f(x+2n) = f(x) + 2n
CQFD

7) Pour a=2, f(x) = x pour tout x entier relatif
Comme f(0) = 0, 6) implique f(2n) = 2n
Comme f(1) = 1, 6) implique f(2n+1) = 2n+1
D'après 3) f est impaire, ce qui clôt la démonstration
CQFD

8 ) Pour a=2, f(x) = x pour tout rationnel
Soient p et q deux entiers naturels, q non nul
f((p/q + 2q)^2) = f((p/q)^2 + 4p + 4q^2) = f(p/q)^2 + 4p + 4q^2 (en utilisant 6)
Mais f((p/q + 2q)^2) = f(p/q + 2q)^2 = (f(p/q) + 2q)^2 = f(p/q)^2 + 4qf(p/q) + 4q^2
L'égalité entre les deux expressions ci dessus implique f(p/q) = p/q
Le caractère impair de f clôt la démonstration
CQFD

9) f est strictement croissante
Pour x > 0, P(sqrt(x),0) ==> f(x) > 0 (le caractère strict est dû à la bijectivité)
Soit alors x1 et x2 dans R+ tels que f(x1) > f(x2)
Soit y = (f(x1) - f(x2))/a > 0
P(sqrt(x2),y) ==> f(x2 + y + f(y)) = f(x1) ==> x2 + y + f(y) = x1 (f est injective) ==> x1 - x2 > 0 (puisque y > 0 et donc f(y) > 0).
Donc f(x1) > f(x2) ==> x1 > x2 ==> f^[-1] est strictement croissante sur R+ ==> f est strictement croissante sur R+
En complétant avec le caractère impair (et le fait que f >=0 sur R+ et <= 0 sur R-), on clôt la démonstration.

10) pour a = 2, f(x) = x sur R
f bijection monotone est continue.
F, continue et égale à x sur Q est donc égale à x sur R
CQFD

Pour a = 0 : au moins deux solutions
Pour a = 2 : exactement une solution (f(x) = x)
Pour les autres valeurs de a : aucune solution.

L'ensemble cherché est {2}

La flemme de latexifier

Posté par
xtasx
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 19-07-07 à 03:21

Et ma fin est bonne sinon ?

Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 19-07-07 à 03:24

Oui j'ai mis longtemps à tout lire et je suis OK

Merci d'avoir participé xtasx, pas comme certains (que je ne citerais pas ) qui se sont défilés...

Posté par
1 Schumi 1
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 19-07-07 à 09:25

Posté par
infophile
re : * Défi : équation fonctionnelle difficile * 19-07-07 à 14:11

It was a joke

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