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Défi : équation fonctionnelle simple
Bonjour 
Difficulté : 
Niveau : 
Citation :Déterminer toutes les fonctions
définies de
dans
telles que :
f(y)-f(xy)=x+y})
Réponse
blanquée svp.
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:34 et le niveau? 
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:34 pardon, ca c'était pas affiché
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:34 Tu sais lire simon ?
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:35 Bon tu n'as plus le choix, tu dois participer 
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:36 flute, je trouve pas
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:38 Si tu vas trouver c'est pas dur
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:39 je cherche, je cherche...
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:42 alors, je dis,
Cliquez pour afficherf(x)=x+1
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:44 explication:
Cliquez pour afficher j'ai vite remarqué qu'il fallait une fonction polynome, puis que le plus grand terme était x donc une fonction affine, j'ai dit, f(x)=x+a, j'ai trouvé x+y=ay+ax donc a=1.
y'a peut-être d'autres solutions
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:44 simon >
Cliquez pour afficher Oui
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:45 simon >
Cliquez pour afficher Oui mais j'ai dit "toutes les fonctions" donc ta réponse et explication ne sont pas complètes
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:46 Cliquez pour afficher ouf...
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:46 Cliquez pour afficher quoi? il manque des solutions?
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:47 simon >
Cliquez pour afficher Ton explication montre uniquement que si f est une fonction affine alors f(x)=x+1. Mais c'est tout
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 22:53 Bonsoir,
Cliquez pour afficher f(y)-f(xy)=x+y)
Posons
et
on a:
f(0)-f(0)=x)
(f(x)-1)=x)
Si
=0)
alors il n'existe pas de solution
Si
\neq 0)
alors
=\frac{x}{f(0)}+1)
=1)
Donc la solution de l'équation fonctionnelle est la fonction
=x+1)
Est ce juste ?
moctar >
Cliquez pour afficher Je ne comprends pas d'où tires-tu f(0)=1 ?
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 23:02 Cliquez pour afficher de l'expression
en remplaçant x par 0
J'ai dit une bétise ?
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 23:04 moctar >
Cliquez pour afficher Non c'est bon, on n'a pas la même méthode mais ça me semble correct
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 23:07 Cliquez pour afficher ok.Merci
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 23:35 Je vous en poste encore une ou deux simples et la prochaine fois je corse un peu
Citation :
Déterminer toutes les fonctions
telles que
=xf(x)+yf(y)})
Citation :Déterminer toutes les fonctions
telles que
=f(x).f(y)})
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 23:37 ok,je m'y mets
Posté par simon92re : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 23:53 Cliquez pour afficher y'a déjà pour la 1 la fonction nulle et pour la deux aussi d'ailleurs
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 01-07-07 à 23:58 simon >
Cliquez pour afficher Il ne suffit pas de vérifier qu'une fonction vérifie l'équation, mais les trouver toutes
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 00:08
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 00:17 moctar >
Cliquez pour afficher Oui
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 00:35 Cliquez pour afficher =f(x).f(y))
Pour y=0 on a
=f(x)f(0))
(1-f(0))=0)
=0)
ou
Donc la fonction
=0)
est solution de l'équation.
Si
,posons
Donc on a
=(f(x))^2)
=1)
ou
=-1)
or
donc
=1)
Les solutions de cette équation sont les fonctions
et
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 00:43 moctar >
Cliquez pour afficher It's good
Another one ?
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 00:46 Cliquez pour afficher oui je veux bien.
Merci
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 00:57 Allez j'en poste encore deux simples et ensuite...
Citation :Déterminer les fonctions
telles que
=1\\f(f(n))=f(f(n+2)+2)=n})
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 01:21 Cliquez pour afficher je trouve
=-n+1)
Est ce bien cela ?
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 01:24 moctar >
Cliquez pour afficher Toutafé
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 01:27 Cliquez pour afficher ok,je vais essayer de faire une démonstration car c'était juste une conjecture
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 01:29 moctar >
Cliquez pour afficher D'accord
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 01:48 Cliquez pour afficher je bloque sérieusement dans la démonstration...
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 01:49 moctar >
Cliquez pour afficher Tu veux une piste ?
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 01:51 Cliquez pour afficher oui
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 02:00 moctar >
Cliquez pour afficher Essaie de trouver la valeur de f(1)
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 02:13 Cliquez pour afficher f(1)=0 mais je ne sais pas où l'appliquer
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 02:17 moctar >
Cliquez pour afficher Oui, montre maintenant que f est bijective.
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 10:01 Bonjour Infophile
Cliquez pour afficher Montrons que f est surjective
Soit
on a
)=x\Longrightarrow f(x)\in \mathbb{Z})
Donc il existe un entier relatif y tel quelquesoit
=y)
Donc f est surjective.
Montrons que f est injective.
Soient
=f(x)\Longrightarrow f(f(x))=f(f(y))\Longrightarrow x=y)
Donc f est injective
)=f(f(n+2)+2))
=f(n+2)+2)
(1)(car f est bijective)
Les fonctions affines sont les seules fonctions définies de
vérifiant (1).
Donc f est de la forme
=an+b)
=b=1\atop f(1)=a+b=0}\Longrightarrow \{{a=-1\atop b=1})
Donc la fonction
est la solution de l'équation fonctionnelle.
ça manque de rigeur,non ?
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 10:19 Cliquez pour afficher je reformule la conclusion pour la surjection:
c'est quelquesoit
,il existe au moins
tel que
=y)
...
Posté par gui_toure : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 16:25
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 17:18 moctar >
Cliquez pour afficher C'est bon
Posté par infophilere : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 17:20 guitou >
Cliquez pour afficher Tu t'es trompé d'équation lol
Posté par moctarre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 17:51 Cliquez pour afficher ok merci et félicitations pour le bac
Posté par Takre : Défi : équation fonctionnelle simple 02-07-07 à 18:46 Bonjour,
moctar >
Cliquez pour afficher j'me trompe peut-être, mais pour la démonstration de la bijectivité, il suffit de dire que f² est bijective, non?
infophile > Une autre, une autre!
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