Bonjour

D'après la question 1) P(-3)=0 donc -3 est une racine de P

On peut donc factoriser P par (x-(-3))=(x+3)

C'est à dire que P s'écrit comme produit de (x-3) par un certain polynome Q(x) de degré 2. En effet P est de degré 3 et d'autre part , x-3 est de degré 1 , ce qui impose que Q(x) est de degré 2.

Donc

Si on développe ,



On identifie les polynomes :

a=-12
4=b+3a
-9=3b+c
3c=36

Résooud le système

Charly

salut

p(x) = -12x³-43x² - 9x + 36
or si P(-3)=0

P(x)=(x+3)(ax²+bx+c)

tu developpes et par reconnaissance tu trouves a b et c

trop tard /(

merci, je comprends ce qui est écrit, et je trouve
a = -12
b = 32
c=12

je ne comprends pas pourquoi on dit que (-3) est une racine de P par contre.

cependant, avec P(x)=(x+3)(ax²+bx+c), j'obtiens un polynome de 2nd degré et on me demande un du 1er degré

Salut,

-3 est une racine de P car P(-3)=0

Cela signifie que P(x) est factorisable par (x+3).

Pookette

rebonjour,
j'ai compris maintenant pourquoi (-3) est une racine de P, merci beaucoup

je me pencherai à nouveau demain pour comprendre le reste et refaire.

Merci à tous, bonne soirée,

Nicolas

de rien, bonne soirée à toi.

Pookette

bonjour, c'est Nico.
désolé de vous embêter encore, car je fais et refais sans cesse l'exercice, j'ai progressé dans la compréhension, mais je bloque encore sur la fin.
je vous rappelle l'énoncé :
soit P(x) = - 12x³ - 43x² - 9x + 36
     1) Calculer P (-3) (fait p(-3 ) = 0)
     2) Utilisez le 1) pour mettre p(x) sous forme d'un produit de facteurs du premier degré
voilà ce que j'ai compris et réussi à rédiger :

d'après le théorème, si un polynôme P(x) s'annule pour x = a, alors on peut mettre (x - a) en facteur de ce polynôme. Il existe un polynôme Q(x) tel que pour tout x réel, P(x) = (x - a) Q(x)
p(-3) = 0, alors on peut mettre (x - - 3) soit (x + 3) en facteur.
le degré de P(x) étant 3, le degré de Q(x) est 2
donc P(x) = (x + 3) (ax² + bx + c)
Développons P(x)
   P(x) = (x + 3) (ax² + bx + c)
        = ax³ + bx² + cx + 3ax² + 3bx + 3c
        = ax³ + (bx² + 3ax²) + (3bx + cx) + 3c
        = ax³ + x(3a + b) + x(3b + c) + 3c
d'où
     a = - 12
     3a + b = - 43
     3b + c = - 9
     3c = 36
Résolvons pour trouver b et c
   3a+b = - 43
   b = - 43 + 36
   b = - 7

   3c = 36   c = 12
donc on a a = - 12, b = - 7, c = 12
donc P(x) = (x + 3) (-12x² -7x - 12)
          = - (x + 3) (12x² + 7x + 12)
mon gros pb maintenant, c'est de factoriser à nouveau
(12x² + 7x + 12) car il s'agit d'un polynôme de degré 2
or on me demande de factoriser sous la forme de produits de facteurs de 1er degre

vraiment désolée pour ts ceux qui m'ont déjà aidé, mais il faut absolument que j'arrive à comprendre le reste.
merci pour l'aide que vous m'apporterez encore

        

re-

si tu n'arrives pas à trouver une racine évidente, il va falloir trouver les solutions de
(12x² + 7x + 12) = 0
en passant par la case discriminant ....

tu calcules delta et tout le reste ?

Pookette

merci pookette, j'avais déjà essayé et je m'étais perdu dans mes calculs, ensuite j'avais essayé avec la forme canonique, c'était pire, alors je vais suivre tes conseils et refaire avec le discriminant

oui, si tu bloques tu montres ton calcul pour qu'on puisse trouver l'erreur

Pookette

il n'y a pas d'identité remarquable pour Q(x), alors on va utiliser le discriminant pour mettre sous forme de produit de facteurs premier degré.
∆ = b² - 4ac
∆ = (-7)² - 4(-12*12)
∆ = 49 + 576
∆ = 625
(je m'étais arrété là car le chiffre me surprenait
x =  - b - √∆ / 2a et  y =   - b + √∆ / 2a
        
avec = b² - 4ac
x = 7 - √625 / 2*-12   et  y = 7 + √625 / 2*-12
    
x = 7 - 25 / -24 et y = 7 + 25 / - 24
    

x = -18 et y = 32 / - 24
      - 24                        
x = 3/4                    et y = - 3/2

et là encor pb, je n'ai pas le droit de mettre
(x + 3/4) (x - 3/2) car je ne retombe pas sur
12x² + 7x + 12

alors, je n'ai certainement rien compris pour l'utilisation du discriminant, je pense que le calcul du discriminant est bon, je pense savoir le faire, mais ensuite, son utilisation, je ne la maitrise pas

merci de me répondre Pookette et pour le tps que tu passes dessus

je m'y remettrai ensuite ce soir ou demain car je dois aller manger, merci encore pour tout les conseils

Je n'ai pas revérifié tes calculs mais tu as sûrement oublié le "-" devant le 12 sinon, ce polynôme est strictement supérieur à 12. Pour le rendre factorisable, un "-" s'impose. Ca semble le cas puisque en prenant -12x² je trouve le même discrimant, et le 625 ne doit pas te surprendre, tente toujours sa racine, souvent on est surpris !
Ensuite, tu t'es trompé dans les réponses qui sont x = 4 / 3 et x = -3 / 4.
Factorise et ça donne (x-4/3)(x+3/4) mais il faut rajouter le -12 devant tes deux facteurs, et tu retombes en développant sur ton polynôme de départ.
C'est bon, tu y arrives ?

bonjour, c'est encore Nico,

bonjour Tim-X,
le - du - 12 je l'ai placé devant (j'ai le droit ? cela  
     fait bien pareil)
P(x) = = - (x + 3) (12x² + 7x + 12)

si je mets 12 devant mes 2 facteurs, j'obtiens :
12(x + 3/4)(x - 3/2)
en développant, cela ne tombe tjs pas juste
(12x + 9) (x - 3/2)
= (12x² - 12) (9x - 27/2)
et là je me retrouve avec des x³, cela n'est pas normal

Si le - ne porte que sur le 12 tu ne peux pas à moins de changer tous les signes à l'intérieur du polynômes.
Et, tu n'as pas pris mes valeurs de x, les tiennes sont fausses

excuse, grossière erreur de calcul pour le x3, je me suis planté

Tim, j'ai changé tous les signes à l'intérieur du polynôme c'est pour cela que j'ai + 12
P(x) = (x + 3) (-12x² -7x - 12)
     = - (x + 3) (12x² + 7x + 12)    (le - est devant la
         parenthèse et j'ai changé les signes ds la    
         parenthèse)
je refais mes calculs avec ∆ = b² - 4ac
puisque c'est là que je ne trouve pas comme toi

j'ai trouvé mon erreur, c'est ds la simplification de
32
   - 24
(j'ai simplifié en notant -3/2 au lieu de -4/3 et en plus j'avais fait le calcul à la machine, n'importe quoi, mais bon j'ai enfin trouvé d'où venait l'erreur)

Q(x) = 12(x + 3)(x -4 )
                  4            3

pour le développement, je m'y remettrai demain, j'ai encore une erreur qq part

bonne soirée et merci

Ok, bon courage

bonjour, c'est Nico,

Encore merci infinment à tous et à toutes, j'ai enfin
tout réussi, corrigé mes erreurs de calculs (énormes certaines)
j'en avais encore une quand j'ai changé mes signes dans la parenthèse et je ne m'en étais pas aperçu
(donc on a a = - 12, b = - 7, c = 12
donc P(x) = (x + 3) (-12x² -7x - 12)
          = - (x + 3) (12x² + 7x + 12)
   alors que je devais mettre - 12x² - 7x + 12
                            = - (12x² + 7x - 12)
et j'ai tout refait à nouveau

A la fin, j'obtiens sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré

P(x) = - (x+3) (12(x-3/4)(x+4/3))
et ensuite en faisant le développement, je retombe bien sur P(x), alors je sais que c'est bon

Alors, grâce à vous tous, et avec de la persévérance, j'ai bien assimilé mon cours maintenant et surtout compris l'exercice à fond