Niveau énigmes

Démasqué par ses grands diviseurs

Posté par
Imod 29-09-26 à 10:16

Bonjour à tous

Un petit problème d'arithmétique pour tous :

On peut facilement trouver deux entiers naturels distincts qui ont le même plus grand diviseur . Et s'ils ont les mêmes deux plus grands diviseurs , les même trois plus grands diviseurs ...

On s'amuse et on blanke uniquement si on a tout trouver et qu'on ne veut pas divulgâcher la solution .

Imod

Posté par re : Démasqué par ses grands diviseurs 29-09-26 à 13:31

Bonjour,

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Posté par re : Démasqué par ses grands diviseurs 29-09-26 à 17:48

Oui , on devine le résultat assez rapidement mais comment le justifier simplement et complètement ?
Imod

Posté par re : Démasqué par ses grands diviseurs 29-09-26 à 20:54

Soient $a>b$ les deux plus grands diviseurs propres de $n$ . Deux cas se présentent.
Si $b\mid a$ , alors $n/a\le a/b$ , puisque $n/a$ est le plus petit diviseur de $n$ supérieur à $1$ . Or l'inégalité stricte ferait de $n/(a/b)$ un diviseur strictement compris entre $a$ et $b$ , donc $n/a=a/b$ , puis $n=a^2/b$ .
Sinon, $\operatorname{ppcm}(a,b)>a$ divise $n$ , donc $n=\operatorname{ppcm}(a,b)$ . Dans les deux cas, $a$ et $b$ déterminent $n$ de façon unique.
Ainsi, deux entiers distincts ne peuvent avoir les mêmes deux plus grands diviseurs propres, ni donc les mêmes trois, quatre, etc.