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demi cercles dans un (demi) cercle
Bonjour,
dans 
Quelle Aire ? j'avais proposé de construire (voire même calculer) les variantes où les demi-cercles internes sont "bien calés" dans le grand demi-cercle
1)
voir encore mieux :
2)
les rayons des petits demi-cercles étant donnés (par exemple 4 et 6) mais pas la direction de leurs diamètres, et on cherche à construite (voire calculer) le grand demi-cercle, et la position exacte des petits demi-cercles, qui est unique pour des valeurs données des petits rayons, à déplacement près de la figure.
ça n'a pas eu l'air de passionner les foules ...
Je propose donc ça dans cette discussion nouvelle
et je complète même avec 3 demi cercles dans un grand cercle, voire même 4 !
3)
on donne les trois rayons r1, r2 et r3 des demi-cercles colorés
l'orientation de leurs diamètres est inconnue.
construire (voire calculer), dans le cas général pour des rayons arbitraires, le grand cercle qui les englobe ainsi que les positions des diamètres
4) construire le 4ème demi-cercle (trait rouge) qui complète la figure
indices et compléments sur demande
Bonjour Mathafou
Quelques généralités pour lancer le problème . La donnée des trois rayons est équivalente à celle du triangle ABC les rayons pouvant être retrouvés par l'intermédiaire du cercle inscrit . A partir du centre I du cercle inscrit dans ABC on doit pouvoir retrouver les points H , I , J , K , L , M , U , V sur les côtés d'un quadrilatère .
Imod
Bonjour Imod
mouais ... peut être qu'il y a un rapport lointain vu que le centre du cercle inscrit est le centre radical des 3 cercles donnés.
mais on ne cherche pas à construire un cercle orthogonal, on cherche un cercle qui coupe les cercles donnés diamétralement
c'est cette notion de cercle coupé diamétralement par un autre qu'il faut creuser.
Bonjour
décidément ...
la clé est comme je l'ai signalé la notion de cercle qui en coupe un autre diamétralement.
cette notion est par exemple introduite dans Lebossé Hémery de terminale, chapitre 312
Mais on peut voire cette propriété de façon indépendante :
l'exercice 357 (ibidem) s'énonce :
On donne deux cercles fixes O(R) et O'(R'), un cercle variable M(r)
Déterminer le lieu du point M dans les cas suivants :
a) Le cercle (M) coupe diamétralement chacun des deux cercles (O) et (O')
b) etc
on a la relation immédiate r² = OM²+R² = O'M²+R'²
qui s'énonce OM² - O'M² = R'² - R² = constante.
le lieu de M est alors un lieu classique (exercice sur les produits scalaire ...) : une perpendiculaire fixe à (OO')
déterminer ce lieu précisément est remarquer qu'il est le symétrique par rapport au milieu de OO' du lieu de M avec
OM² - OM'² = R² - R'²
c'est à dire OM² - R² = O'M² - R'²
lieu des points M ayant même puissance par rapport aux deux cercles = leur axe radical.
et donc finalement la propriété fondamentale pour nos constructions :
| le lieu des points M centres de cercles coupant diamétralement deux cercles donnés est
le symétrique de leur axe radical par rapport au milieu de la ligne des centres. |
(ou une partie de cette droite, discuter)
Le premier exo considère alors le cercle (O) et le cercle-point B (de rayon nul)
le deuxième est l'application directe de la propriété démontrée ci dessus
le troisième est l'application 3 fois de cette propriété, donnant :
les trois lieux par rapport aux cercles donnés considérés deux à deux sont concourants en le point O cherché.
on pourra chercher à justifier qu'il s'agit du symétrique du centre du cercle inscrit dans ABC par rapport au centre de son cercle circonscrit
Bonsoir Mathafou
Il ne faut pas t'affoler outre-mesure à propos du peu de réponses à ton (tes ) problème(s) . Dans l'enseignement des maths , la part de la géométrie était vraiment très importante avant de quasiment disparaître . J'ai personnellement découvert la puissance d'un point , l'axe radical ... bien après la fin de mes études .
En bref tes références ne sont pas celles de tous , il m'arrive de reconstruire très laborieusement un résultat que les élèves de seconde des années 60 devaient considérer comme trivial .
Je ne critique pas , j'essaie d'expliquer le peu de réactions à ce problème intéressant 
Imod
Bonjour Imod
je suis bien conscient de la quasi disparition de la géométrie "classique" de l'enseignement actuel en France (et même depuis de nombreuses années ..)
mais il y a encore quelques addicts.
La "géométrie" de nos jours se borne à Thalès et Pythagore un point c'est tout, et tout le reste consiste à se placer dans un repère et faire (ou faire faire par un logiciel) des calculs algébriques.
Disparu le plaisir d'un enchainement de raisonnement logique, basé sur un corpus riche de connaissances enchainées les aunes aux autres.
Si mes interventions peuvent susciter quelques vocations...
ou réveiller le plaisir de la déduction et de la recherche chez les "vieux briscards"
En panne d'ordinateur , j'ai repris "à la main" le 3ème problème avec les rayons 3 , 4 et 5 . Je ne vous imposerai pas mes brouillons que j'ai parfois du mal à relire mais j'ai essayé de calculer le rayon du quatrième cercle . Sauf erreur ce rayon est l'unique racine réelle du polynôme : , c'est à dire environ 2,5 .
On est dans le degré 3 donc on sait résoudre exactement mais les formules ne sont pas vraiment "sexy" .
Une question : les quatre rayons ( distincts ) peuvent-il être entiers ?
Imod
PS : la construction du quatrième demi-cercle est-elle possible à la règle et au compas ?
pour le 4ème cercle le 3ème degré rend impossible une construction à la règle et au compas.
je n'ai pas fait les calculs, je fais confiance pour ce résultat
par contre une construction "par coniques" est possible
une construction règle et compas serait possible si l'équation du 3ème degré dégénère, voire des entiers.
c'est à dire pour certaines valeurs des trois rayons
lesquelles ? mystère sans un calcul littéral de l'équation
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