Bonjour Glapion

Il faut regarder dans le triangle rectangle CPQ  .

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On obtient sans problème que OC = OD =  3 cm puis OP = 5cm et pour finir OB = 10 cm .

On corrigera la valeur OB que j'ai oublié de décrémenter
Imod  

Bonjour,

"sans problème" hum...

pourquoi donc O = U ?

Bonjour,

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A partir des rayons R er r des 2 petits demi cercles et dans le repère dessiné, on calcule les coordonnées du point E :

On a immédiatement :

Et comme E est sur le grand demi cercle :
  
On calcule R = 6 (cm) et r = 4 (cm) ... qui remis dans la relation précédente permet de calculer : AB = 20 (cm)

L'aire du demi grand cercle est S = Pi.AB²/8 = 50.Pi (cm²)

ce calcul est correct !
O est inconnu et l'inconnue là dedans est OB (abscisse de B = AB/2

oui bravo, 50, avec les coordonnées c'est pas mal.

une façon plus progressive et besogneuse :

on finit par s'endormir ...
le calcul pas à pas et soporifique de BF est exactement celui fait pour obtenir les coordonnées de E
ensuite au lieu de résoudre une équation, on redémontre la formule bien connue
(relations métriques dans un triangle rectangle, cours de seconde d'antan)

EF² = AF.BF

Bonjour,

J'ai trouvé intéressant les variantes où les demi cercles sont placés "au mieux", c'est à dire avec les "sommets" tous sur le pourtour
les diamètres ne sont alors pas parallèles
calculer le grand demi-cercle n'est pas une mince affaire car l'inclinaison des diamètres est aussi une inconnue.
(2 inconnues mais deux contraintes et la figure est encore unique pour des rayons donnés)



construire (et non pas calculer) la figure est plus facile.
dans le cas général : deux demi cercles de rayons donnés quelconques.

voir encore mieux :



idem (construire, résultat unique)

EDIT : on traitera ces variantes dans la nouvelle discussion créée à cet effet demi cercles dans un (demi) cercle

Bonjour,
Je réponds à la question d'origine.

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Les deux rayons sont respectivement  6 et 4
La ligne des centres est donc  6+4=10 et est en même temps l'hypoténuse d'un triangle rectangle de Pythagore d'autre coté 8
segment sur le périmètre recherché.
Par symétrie on voit AC=8 .
Notre diamètre mesure donc 8+8+4=20  et notre aire 50

edit :

@dpi
"par symétrie" ?? c'est une illusion due aux valeurs numériques particulières
c'est faux avec d'autres valeurs.


il n'y a aucune symétrie qui donne AC

et d'ailleurs d'autres "coïncidences" fortuites avec ces valeurs là
(voir mon point U à 12-09-24 à 13:19 "fortuitement" U milieu de OG, uniquement pour ces valeurs là )
de plus la figure est fausse au départ

d'ailleurs la vidéo citée parGlapion dit bien quasiment dès le départ :
Caution!
the diagram may NOT
be 100% true to the scale!

Attention!
la figure peut n'être PAS 100% exacte et à l'échelle.

Au temps pour moi !
Dans ce cas la symétrie était tellement évidente *que je ne l'ai pas démontrée.
*coïncidence.
OB=OA =R
QP =10 (démontré)-->CP=8
BC=8+4=12-->OC=2=OD
AC=OA-OC =8
AB=8+12=20

Une "coïncidence" qui n'en est pas une
c'est à dire qu'il faut le démontrer (quels que soient les rayons)
et alors le rayon du grand demi-cercle est "instantanément" égal à la somme des deux rayons ! (toujours)

la figure peut se construire (sans aucun calcul) en construisant O comme intersection de (BC) avec la médiatrice de BE



à prouver : OP = EQ (c'est à dire que OPQE est un parallélogramme)

alors 'instantanément " OB = OP + PB = r1+ r2

@dpi

BC=8+4=12 oui
-->OC=2=OD pas de preuve !!
(et OC = OD est pure coïncidence numérique, faux dans le cas général)

de toute façon si on savait ça il serait inutile d'aller plus loin et d'aller cherche A :
rayon = OB = BC - OC = 12 - 2 = 10 !

Il faut  aller plus loin....car ma figure était trop juste....
BD=8  
CP=8
BC=12
Considérons le triangle rectangle *AEB   de hauteur EH=6
Nous avons aussi HC=6 donc HB=12+6=18
La similitude* des triangles EHB et AHE  permet de dire AH/EH =EH/HB =6/18 =1/3--->AH =2
Mon diamètre est donc égal à 2+18=20


*démonstration sous la torture

là , c'est d'accord.

Bonsoir,
voici une démonstration sans calculs du fait que le rayon du grand demi-cercle est égal à la somme des rayons des deux petits demi-cercles (avec les notations de mathafou).

1) Il faut d'abord justifier que et sont alignés (sachant que et sont alignés) :

dans le premier cercle on a et dans le second donc

2) et donc

3) Si est le diamètre du grand demi-cercle on a donc et par suite

la similitude de centre D est la clé. pour prouver l'alignement de B,D,E et de G,D,F
justifier que le diamètre du grand cercle est la somme des diamètres est ensuite le plus rapide plutôt que de chercher d'abord le centre comme le suggérait ma figure.
mon parallélogramme n'était pas le bon

pour mes variantes se reporter a demi cercles dans un (demi) cercle