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Demonstration d' inéquation

Posté par
Quentinoe66
09-09-18 à 17:11

Voici l'inequation que j'ai a démontrer :
XY\leq \left(\frac{X+Y}{2} \right) ^2

Le tout en disant dans quels cas cela peut être égal. Si quelqu'un pouvait m'aider à la résoudre se serait très gentil.

Posté par
littleguy
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:16

Bonjour,

Ce n'est pas une inéquation, c'est une inégalité.

Développe le membre de droite, puis tout à droite et ça devrait te sauter aux yeux.

Posté par
malou Webmaster
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:17

bonsoir
multiplie ton inégalité par 4
puis tout dans un seul membre....celui de droite par exemple

Posté par
malou Webmaster
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:18

bonsoir littleguy

Posté par
littleguy
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:19

Bonjour malou

Pour une fois j'étais en avance

Posté par
Quentinoe66
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:28

Donc, si j'ai bien suivi vos conseils, j'obtiens :
0\leq X^2+Y^2+2(XY)

C'est bien cela ?
(Ps, ma prof de math a été absente la moitié de l'année dernier et il me manque donc certaines notions ...)

Posté par
littleguy
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:36

Problème de signe.

Tu ne connais pas les "identités remarquables" ?

Posté par
Quentinoe66
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:48

Si, oui maintenant que tu me le dit je me suis coure en mettant tous du même côté, c'est -2(XY) et non +2(XY).

Posté par
littleguy
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:50

Et donc... (identités remarquables au collège il me semble, non ?)

Posté par
Quentinoe66
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:55

Donc c'est la 2 2eme identité remarquable. Avec le -. Donc si x et y sont égaux l'inégalité est égale à 0, ce qui répond à ma question ,merci.

Posté par
littleguy
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 17:58

Citation :
Donc si x et y sont égaux l'inégalité est égale à 0, ce qui répond à ma question ,merci.

J'ai du mal à te suivre...
Je ne sais pas ce que signifie "inégalité égale à zéro".

Posté par
littleguy
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 18:02

Tu as une inégalité à prouver, c'est-à-dire montrer qu'elle est toujours vérifiée (contrairement à une inéquation qui, a priori, ne l'est pas forcément).

Posté par
Quentinoe66
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 18:13

A la fin j'obtiens :
0\leq (X-Y)^2

Un carré n'est jamais negatif (et je pense pas que le fait que ce soit une identité remarquable le change) donc j'ai ma démonstration. Et dans l'énoncé il était demandé que je précise si il était possible que se soit strictement égal (et non juste superieur) et dans quels cas cela se produisait. En l'occurrence si X=Y cela est forcément égal à 0.
Ou alors je me suis trompé...

Posté par
littleguy
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 21:51

J'ai dû m'absenter, désolé.

La "difficulté" est qu'il faut ici démontrer une inégalité. Donc on ne doit pas partir d'elle mais y arriver (sauf à procéder par équivalences).

Pour démontrer que A\leq B on peut par exemple soit démontrer   A-B\leq 0 soit B-A\geq 0.

Ici  par exemple écrire \left(\dfrac{X+Y}{2} \right) ^2-XY=...=... =\dfrac{(X-Y)^2}{4} et conclure.

En revanche pour avoir l'inégalité stricte il ne faut surtout pas que X=Y, non ?

Posté par
Quentinoe66
re : Demonstration d' inéquation 09-09-18 à 22:12

Je ne cherche à savoir dans quel cas l'inegalité de base ne serait pas une inégalité mais simplementune equation. Pour cela il faut que X=Y.  Pour la démonstration en soit ... en effet je ne sais pas trop si mon cas marche, mais je vois mon prof demain donc je lui demanderais.
Merci pour ton aide, qui  ma permi entre autre de me rappeler les inégalités.



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