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Démonstration de suite géométrique.

Posté par Dardentor (invité) 11-05-05 à 17:15

salut,
(Un) est définie par U0=1 ; Un+1=1/2 Un-1/4 et (Vn) est définie pour tout naturel n par Vn= Un-1/2.

1)Conjecturez graphiquement le comportement de la suite (Un).

2)Prouvez que la suite (Vn) est géométrique.

3)Exprimez Vn, puis Un, en fonction de n.

4)Etudiez les variations de (Vn), puis déduisez-en celles de (Un).

5.a)Quelle est la limite de (Vn)?
  b)Déduisez-en celle de (Un).



1)Graphiquementon conjecture que la suite est décroissante.

2)J'arrive a certaines équation , mais c'est toujours fonction de n donc je n'arrive pas a prouver que c'est une suite géométrique.

Je n'ai pas encore fait la suite. Ce serait sympa si vous pouviez m'aider sur la 2) .

                       Merci !!


PS: J'ai fait :

Vn=Un-1/2
<=> Vn/2= 1/2Un-1/4
<=> Vn=2Un+1     [ car Vn=Un-1/2 ]

Mais apres je bloque ( peut que que je ne suis pas sur le bon chemin).

Posté par titclaire51 (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 11-05-05 à 18:10

alor en fait pour demontrer qu'une suite est géométrique il suffit ke tu fasse Vn+1/Vn et normalement en arrivant a simplifier tu devré trouV la raison de la suite geométrique. Bon ba essaye et di si ti arrive pa
voila bon courage

Posté par
H_aldnoerre : Démonstration de suite géométrique. 11-05-05 à 18:26

slt


3$\rm \green 1)
3$\rm pas bien difficile !

3$\rm \green 2)
3$\rm V_n=U_n-\frac{1}{2} donc V_{n+1}=U_{n+1}-\frac{1}{2}

3$\rm \blue nous avons l'expression de U_{n+1} > remplacons la alors dans celle de V_{n+1}

3$\rm\begin{tabular}V_{n+1}&=&U_{n+1}-\frac{1}{2}\\&=&\frac{1}{2}U_n-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\&=&\frac{1}{2}U_n-\frac{3}{4}\\&=&\frac{1}{2}(U_n-\frac{3}{2})\\&=&\frac{1}{2}V_n\end{tabular}

3$\rm \magenta nous avons donc V_{n+1}=\frac{1}{2}.V_n et donc par definition (V_n) est geometrique :

3$\rm \magenta - de raison q=\frac{1}{2}

3$\rm \magenta - de premier terme V_0=U_0-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

3$\rm \red l'ecriture de cette suite est donc : \fbox{V_n=V_0\times q^n=\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2})^n=(\frac{1}{2})^{n+1}

3$\rm \green 3)
3$\rm \blue on peut alors deduire de la relation V_n=U_n-\frac{1}{2} l'ecriture de U_n :

3$\rm \begin{tabular}V_n=U_n-\frac{1}{2}&\Leftrightarrow& U_n=V_n+\frac{1}{2} soit :\end{tabular}

3$\rm \begin{tabular}\fbox{\red U_n=(\frac{1}{2})^{n+1}+\frac{1}{2}\end{tabular}

3$\rm \green 4)
3$\rm \blue on deduit les variations d'une suite par etude du signe entre deux termes consecutifs de la suite :

3$\rm\begin{tabular}V_{n+1}-V_n&=&(\frac{1}{2})^{n+2}-(\frac{1}{2})^{n+1}\\&=&(\frac{1}{2})^{n+1}\times\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{n+1}\\&=&(\frac{1}{2})^{n+1}(\frac{1}{2}-1)\\&=&(\frac{1}{2})^{n+1}\times\frac{-1}{2}\end{tabular}

3$\rm n\in\mathbb{N} donc (\frac{1}{2})^{n+1}>\frac{1}{2} et par produit on obtient (\frac{1}{2})^{n+1}\times\frac{-1}{2}<\frac{1}{2}\times\frac{-1}{2} soit V_{n+1}-V_n<\frac{-1}{4}

3$\rm \red V_{n+1}-V_n<\frac{-1}{4} donc \fbox{(V_n) decroit

3$\rm nous avons d'autre part : U_n=V_n+\frac{1}{2} soit :

3$\rm\begin{tabular}U_{n+1}-U_n&=&V_{n+1}+\frac{1}{2}-(V_n+\frac{1}{2})\\&=&V_{n+1}+\frac{1}{2}-V_n-\frac{1}{2}\\&=&V_{n+1}-V_n\end{tabular}

3$\rm \red nous \underline{deduisons que} \fbox{(U_n) decroit} ce qui confirme la conjecture

3$\rm \green 5)
3$\rm \blue on se ramene aux expression des suites en fonction de n :

3$V_n=(\frac{1}{2})^{n+1}=(\frac{1}{2})^{n}\times\frac{1}{2}=\frac{1^n}{2^n}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}\times\frac{1}{2}

3$\rm \{\lim_{n\to+\infty} 2^n=+\infty\\\lim_{X\to+\infty} \frac{1}{X}=0

3$\rm par compose : \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n}=0

3$\rm \{\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n}=+\infty\\\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}

3$\rm par produit : \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n}\times\frac{1}{2}=0

3$\rm \red finalement \lim_{n\to+\infty} V_n=0

3$U_n=V_n+\frac{1}{2}

3$\rm \{\lim_{n\to+\infty} V_n=0\\\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}

3$\rm par addition : \lim_{n\to+\infty} V_n+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

3$\rm \red finalement \lim_{n\to+\infty} U_n=\frac{1}{2}

relis tout ceci et pose des questions aux besoins ...

courage


@+ sur l' _ald_

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 09:06

Merci beaucoup,
je vais relire ton post et si j'ai des questions je reviendrai...

encore merci!

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 21:51

(Un) est la suite définie par U0=1, U1=2 et pour tout naturel n,

Un+2=1,5Un-0,5Un.

1a)démontrez que la suite (Vn) éfinie par Vn=Un+1-Un est une

suite géométrique.

b)Exprimer Vn en fonction de n.

2a)Exprimez Un en fonction de n.

b)Quelle est la limite de la suite (Un) ?

3)déterminez le plus petit entier p tel que :
|Un-3|<10-5 pour tout entier \gep.

Merci d'avance pour votre aide!!

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 21:54

PS: A partir de la question 4 du premier exercice je crois qu'il y a des fautes ( ou du moin a la 4° question ).

je dis ca car il y a écrit :

(1/2)n+1 > 1/2

Or 1/2 x 1/2 = 1/4 < 1/2 ...

Donc je n'arrive pa a faire la question 4

Merci encore

Posté par
H_aldnoerre : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 22:16

re


effectivement il y a pa mal de fautes ... dsl ... mais entre deux exos de BAC dsl je suis en train de reviser revois la question 1 une petite erreur de calcul ...

j'essairé de voir les reste ce weed-end ...


@+ sur l' _ald_

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 22:22

Oué j'ai déja corrigé la question 1, il il a un + au lieu d'un -, mais pourrais tu m'aider vite fait sur la question 4 ??

Merci

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 23:08

C bon j'ai réussi a faire l'exo 1 ( mon premier post ) mais maintenant, je bloque a la question 2a) du deuxieme exo que j'ai posté.

Pourrait-on m'aider seulement pour cette question ??

                                 merci !!

Posté par
H_aldnoerre : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 23:09

re


qu'est qui te bloque a cette question ?

qu'a tu trouver pour les autres questions apré correction du 1) ?


@+ sur l' _ald_

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 23:16

1a et b) Vn=Un+1-Un

alors Vn+1=Un+2-Un+1
                     =1,5Un+1-0,5Un-Un+1
                     =0.5Un+1-0,5Un


Donc :

Vn+1 / Vn= 0.5

(Vn) est donc une suite géométrique de raison q=0.5, de premier terme V0=U1-U0=2-1=2 et de formule explicite :
Vn=(1/2)n   ( question b résolu )

Et apres je n'arrive pa a exprimer Un en fonction de n ...

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 12-05-05 à 23:22

Apres correction du 1 :

alors question 4)

La raison de (Vn) est q=1/2 et  0<1/2<1, alors la suite est décroissante.
Donc VUn+1-Vn<0

Nous savons que:
Un+1-Un=Vn+1+(1/2)-(Vn+(1/2))= Vn+1-Vn

Alors (Un) est décroissante).

Puis pour l'eo 5) pareil en corrigena une faute que tu a faite mais ou tu a trouvé un résultat juste  [ lim 1/n² lorsque n tend -> + l'infini = + l'infini ] voila ta faute mais bon j'ai corrigé en  0 ]

Posté par
H_aldnoerre : Démonstration de suite géométrique. 13-05-05 à 16:54

re


3$\rm\{U_0=1 ; U_1=2\\U_{n+2}=1.5U_{n+1}-0.5U_n

3$\rm \green 1)

3$\rm \blue V_n=U_{n+1}-U_n implique que V_{n+1}=U_{n+2}-U_{n+1} soit :

3$\rm \begin{tabular}V_{n+1}&=&U_{n+2}-U_{n+1}\\&=&1.5U_{n+1}-0.5U_n-U_{n+1}\\&=&0.5U_{n+1}-0.5U_n\\&=&0.5(U_{n+1}-U_n)\\&=&0.5V_n\end{tabular}

3$\rm \blue nous avons donc \underline{V_{n+1}=0.5V_n} donc (V_n) est une suite geo :

3$\rm \magenta - de premier terme V_0=U_{0+1}-U_0=U_1-U_0=2-1=1

3$\rm \magenta - de raison q=0.5

3$\rm \red l'ecriture generale des suites geo etant V_n=V_0\times q^n :

3$\rm\red\fbox{V_n=0.5^n}


@+ sur l' _ald_

Posté par Yalcin (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 13-05-05 à 17:18

Je suis énervé car cela fait au moins 1000 fois que je vois les mêmes types de suites, de plus j'étudies ces suites dans ma casse de 1èreS, ce que je déteste , pourquoi ne pas étudier la suite U_(n+1)=a*U_n+b en 1èreS et trouver la formule , et en faisant une propriété comme la résolution d'uen équation du seconde degré. Donc on apprend la formule et on étudies les limites c'est le but en plus, étudier la limite de U_n.
En fait on pose toujours V_n = U_n - x où x est la solution de l'équation x=ax+b.
Voilà

Posté par
H_aldnoerre : Démonstration de suite géométrique. 13-05-05 à 17:39

slt Yalcin


moi je suis tout a fait d'accor avec toi seuleuement ce n'est pas nous qui faisons les programmes et je pense que si l'eleve en a vraiment envie il peut par lui meme chercher une resolution dans le cas general ...


@+ sur l' _ald_

Posté par Yalcin (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 13-05-05 à 17:51

même si l'élève cherche et trouve ça tout seul , il va non plus dire que d'après la propriété mahin on a directement la formule de U_n ..............
Donc à chaque fois qu'il va rencontrer ce type de suite , va t il refaire la formule générale ?
Ce que je veux dire, c'est que ça doit être une propriété.
Et puis y'a aussi des suites de type : U_(n+1) =(aU_n+b)/(cUn+d) , qui sont faciles aussi , on peut même donner des formules générales pour ce type de suite que j'ai cité là.
Si tu regards bien, il suffit de donner la ofrmule générale de U_n avec U_(n+1) =(aU_n+b)/(cUn+d) , pour trouver aussi les suites arithmético géométriques (car si c=0 et d=1) alors ona des suites arithmético géométriques que j'ia cité plus haut.
Voilà

Posté par Dardentor (invité)re : Démonstration de suite géométrique. 13-05-05 à 23:52

Heuresement que je demandais pour la suite (Un) et non (Vn) ...mais bon pas grave, car si tu regardes bien 2 post avant ta résolution , c'était déja fait... ; mais merci quand meme.

Yalcin >> Surement ...


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