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Démonstration dérivation
Bonjour !
Voila, pour un DM de maths, je dois démontrer par récurrence que les fonctions f(x)=x puissance n et f(x)=1/x puissance n sont dérivables sur R et R*, et que f'(x)=nx puissance n-1 (pour la première fonction) et f'(x)=nx puissance n-1 aussi pour la 2eme. Au rang n=o, j'y arrive, mais après je bloque, si qqn pouvait m'aider... Ah oui, je dois aussi démontrer que la limite de (sinx/x)=1 quand x tend vers 0, et que la limite de (cosx-1/x)=0 tjs quand x tend vers 0, mais j'ai pas de question intermédiaire, alors je sais pas trop par où commencer...
Si qqn a ces démonstrations dans son cours, ce serait gentil de me donner qq pistes !
Merciii d'avance !
Bonjour,
pour les limites, je te réécris les fonctions pour essayer de te donner le "déclic" :
... tu devrais reconnaître quelquechose si tu en prends la limite.
Idem pour le cosinus :
...
Pour la récurrence :
* initialisation : pour n=1
f(x)=x^1=x et f'(x)=1=1*x^(1-1)=1*x^(0)=1*1=1
* récurrence :
Supposons que f(x)=x^n soit dérivable sur R et que f'(x)=nx^(n-1).
Prenons g(x)=x^(n+1)=x^n * x^1 = x * x^n.
donc g(x)=x*f(x) qui est le produit de deux fonctions dérivables sur R donc g(x) est dérivable sur R.
De plus, g'(x)= 1*f(x) + x*f'(x)= x^(n)+x n x^(n-1)=x^(n) + n x^(n) = (n+1)x^(n)
et voilà .... essaye de faire par toi même pour 1/(x^(n)) (remarque 1/(x^n) = x^(-n))..
sauf erreur,
bon courage,
ManueReva
Merci bcp, ça m'a bien aidé ! J'ai encore un peu de mal avec les limites, mais je vais poser qq questions à ma prof !
Au fait, il me reste une question que j'arrive pas à faire (ben oui, j'arrive pas grand chose !) c'est dire quel est l'ensemble de dérivabilité et la fonction dérivée de la fonction tangente... qqn saurait ?
Merci !
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