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Niveau troisième
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Démonstration sur triangle rectangle

Posté par
NoobenM
02-10-13 à 19:59

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour demain et il me reste à effectuer un exercice auquel je bloque...
Voici l'énoncé:Trace un segment [OO'] de 4cm de longueur. Tracer un cercle (C) de centre O et de 2,4cm de rayon ainsi qu'un cercle (C') de centre O' et de 3,2 cm de rayon. Les cercles (C) et (C') se coupent en M et N. Démontrer que les droites (OM) et (O'M) sont perpendiculaires.

Mer ci d'avance de votre aide.

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 20:26

Mes amis viennent de me dire qu'il faut utiliser la contraposée de Phytagore mais je ne suis pas d'accord avec eux.

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 21:03

Bonsoir à toi.

Pour commencer, as-tu tracé la figure ?

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 21:11

Voilà, normalement la figure est censée te donner ça.

Logiquement tu arriveras à trouver comment démontrer que le triangle est rectangle ou non.

De plus, as-tu compris pourquoi j'ai noté que OM = 2.4cm et O'M = 3.2 cm ?

Re

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 21:23

Oui

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 21:25

Non je n'ai pas compris (j'ai dit oui pour avoir tracé la figure)

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 21:25

Alors que te reste-t-il à faire ?

Complete ceci et répond-y. ^^

JE SAIS QUE :

OR :

DONC :

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 21:31

Je sais que: MO'=3,2cm et MO=2,4cm et OO'=4cm
Or, si le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle est rectangle

Donc d'après le théorème de Pyth.Calcul)

Donc d'après le théorème de Pythagore, MOO' est rectangle.
Est-ce bon?

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 21:42

Ah non, j'ai faux non? Parce que tu as mis les milieux des rayons, y'aurai t-il un rapport avec les médianes?

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 22:10

Dans le JE SAIS QUE ! Attention précise aussi que M est un point du cercle C et du cercle C', donc il appartient au deux cercle ! Donc c'est un point de ce cercle. Et c'est pour cela que toute droite partant du centre de n'importe quel cercle à ce point forme un RAYON ! Et le rayon t'es donné.
Donc en effet : OM = 2.4cm, O'M = 3.2cm et OO' = 4cm
OMO' est un triangle dont l'hypothénuse (le plus grand côté) est OO'

OR d'après le théorème de Pythagore, si le carré de l'hypothénuse est égal au carré des deux autres côtés alors le triangle est rectangle.

DONC : Vas y donne moi le calcul et vérifie maintenant !

OO'² = ?
OM² + O'M² = ?

Est-ce les même valeurs ? Donc ?

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 22:14

OO'²=16cm
OM²+O'M²=2,4²+3,2²
        =5,76+10,24
        =16

Donc le triangle est rectangle! Mais du coup, comment dois-je rédiger ça (ma prof est très strict sur la rédaction. -1 point pour chaque faute de rédaction)

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 22:28

Comme je viens de te l'expliquer.

Je te montre :

JE SAIS QUE :
- [OO'] = 4 cm
- C est un cercle de centre O et de rayon 2.4cm
- C' est un cercle de centre O' et de rayon 3.2 cm
- Les cercles C et C' se coupent en deux points : M et N donc M et N sont deux points des cercles C et C'
- OM est un rayon du cercle C de centre O car M appartient au cercle C donc [OM] = 2.4cm
- O'M est un rayon du cercle C' de centre O' car M appartient au cercle C' donc [O'M] = 3.2 cm
- OO'M est un triangle dont l'hypoténuse est OO' car OO' est le plus grand côté, il mesure 4 cm.

OR d'après la contraposée du théorème de Pythagore : si l'hypoténuse au carré est égale au carré des deux autres côtés alors le triangle est rectangle.

DONC :
OO'² = 4² = 16
OM² + O'M² = 2.4² + 3.2² = 5.76 + 10.24 = 16

OO'² = OM² + O'M² = 16 donc le triangle OO'M est rectangle en ?

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 22:29

La démonstration s'argumente autour de 3 choses :
Le JE SAIS QUE :
- ce qui est dit dans l'énoncé
- ce que tu remarques
- ce que tu en déduis
Le OR : la priorité
Le DONC : le calcul et/ou le résultat

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 22:34

En M!

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 22:37

Bravo ! Là je dis CHAPEAU

As tu bien tout compris alors ?

J'entend par là :

- Représenter la figure avec les indications données.
- Pourquoi OM et O'M sont des rayons ?
- Comment rédiger une démonstration ?

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 22:38

Ce n'est pas plutôt la réciproque?

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 22:39

Oui, je sais les composant d'une démonstration c'est juste que j'ai un peu de  peine avec les propriétés

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 22:47

Bonjour,

Citation :
ma prof est très strict sur la rédaction
noter alors que ce n'est ni le théorème de Pythagore, ni sa contraposée, mais sa réciproque.

théorème de Pythagore :
si un triangle est rectangle en A, alors a² = b² + c²

contraposée :
si a² b² + c², alors le triangle n'est pas rectangle en A

réciproque :
si a² = b² + c², alors le triangle est rectangle en A

et même tant qu'à faire la contraposée de la réciproque :
si un triangle n'est pas rectangle en A, alors a² b² + c²

bien entendu on peut grouper tout ça dans un seul théorème (mais il est alors délicat de l'appeler théorème de Pythagore) :
un triangle est rectangle en A si et seulement si a² = b² + c²

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 22:49

Oui c'est certainement la réciproque (la dessus j'aurais un peu de mal à m'en souvenir, regardes dans ton cahier de cours, ca doit etre not")

Si tu as vraiment compris j'aimerais que tu me fasses pour cette figure-ci :

(Trace la avant et dit moi le resultat):

ENONCE :
- Trace un segment [BB'] de 6cm de longueur.
- Tracer un cercle (C) de centre O et de 3 cm de rayon
- Tracer un cercle (C') de centre O' et de 5 cm de rayon.
- Les cercles (C) et (C') se coupent en X et Y.
- Les droites (OM) et (O'M) sont-elles perpendiculaires.

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 22:50

Ah d'accord merci pour le rappel Mathafou ^^'

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 22:56

Les centres ne sont pas plutôt B et B'???

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 23:01

On ne peut rien te cacher Nooben xD

En effet tu as remarqué mon erreur.



Alors ca donnerais quoi ?

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 23:04

Je sais que :
- [BB'] = 6 cm
- C est un cercle de centre B et de rayon 3 cm
- C' est un cercle de centre B' et de rayon 5 cm
- Les cercles C et C' se coupent en deux points : X et Y donc X et Y sont deux points des cercles C et C'
- BX est un rayon du cercle C de centre O car X appartient au cercle C donc [BX] = 3 cm
- B'M est un rayon du cercle C' de centre B' car X appartient au cercle C' donc B'M = 5 cm
- OO'M est un triangle dont l'hypoténuse est BB' car BB' est le plus grand côté, il mesure 6 cm.

Or, d'après la réciproque du théorème de Pythagore: si le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés, alors le triangle est rectangle.

Donc:BB'=6²=36 cm

BX²+B'X²=3²+5²=34

BB' non égal à B'X et BX donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
Donc BX et B'X ne sont pas perpendiculaires. C'est bon?

Posté par
SophieYoshi
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 23:10

Je te montre :

JE SAIS QUE :
- [BB'] = 6 cm
- C est un cercle de centre B et de rayon 3 cm
- C' est un cercle de centre B' et de rayon 5 cm
- Les cercles C et C' se coupent en deux points : X et Y donc X et Y sont deux points des cercles C et C'
- BX est un rayon du cercle C de centre B car X appartient au cercle C donc [BX] = 3 cm
- B'X est un rayon du cercle C' de centre B' car X appartient au cercle C' donc [B'X] = 5 cm
- BB'X est un triangle dont l'hypoténuse est BB' car BB' est le plus grand côté, il mesure 6 cm.

OR d'après la réciproque du théorème de Pythagore : si l'hypoténuse au carré est égale au carré des deux autres côtés alors le triangle est rectangle.

DONC :
BB'² = 6² = 36
BX² + B'X² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34

BB'² =/= BX² + B'X donc le triangle BB'X n'est pas rectangle.
Donc BX et B'X ne sont pas perpendiculaires.

Oui voilà tu as bon !  Mais attention dans ta rédaction, tu as laissé les lettres du précédent exercice !

Posté par
SophieYoshi
Re 02-10-13 à 23:10

Si tu as compris alors c'est génial je suis contente.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration sur triangle rectangle 02-10-13 à 23:50

dans ce genre de rédaction je ne le présenterais pas comme ça du tout (le donc tel qu'il est utilisé ici me fait hérisser le poil)

je passe sur les détails et ne mets que ce qui me choque :

JE SAIS QUE :
(déja là dedans il y a plein de "or ... donc ..." mais passons, il faut savoir résumer les trucs qui ne font pas strictement l'objet de l'exo
déja c'est assez filandreux comme ça)
- BB'X est un triangle dont l'hypoténuse est BB' car BB' est le plus grand côté, il mesure 6 cm.

raaaah on ne peut parler d'hypoténuse que quand on sait que le triangle est rectangle. ici on n'en sait rien du tout et même cela s'avèrera faux. donc ce n'est certainement pas un "on sait que" !!
BB'X est un triangle dont BB' est le plus grand côté, il mesure 6 cm. point barre.
et on a en fait la conclusion de toute cette chaine de "or.. donc" planqués sous le tapis, sous forme d'un seul "on sait que" résumé :
BB'X est un triangle dont [BB'] est le plus grand côté, il mesure 6 cm.
[BX] mesure 3cm et [B'X] mesure 5cm

c'est ça le vrai "on sait que" principal de l'exo.
tout le laius précédent si on veut le mettre est en dehors de ce "on sait que"
c'est une chaine de "on sait que .. or ... donc.." qui doivent être explicités séparément au besoin.

maintenant on a OR [théorème]
DONC et rhaaaa de nouveau :
BB'² = 6² = 36 etc

non !! ce n'est pas ce calcul qui est la conséquence du théorème !!!
(c'est ce que veut dire "donc" : une conséquence)

la rédaction correcte et de mettre ce calcul dans le "on sait que"
on sait que
(... détails filandreux au besoin)
BB'X est un triangle dont [BB'] est le plus grand côté, il mesure 6 cm.
[BX] mesure 3cm et [B'X] mesure 5cm
BB'² = 6² = 36
BX² + B'X² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
ça c'est bien des trucs qu'on sait

et maintenant
or contraposée du théorème de pythagore
si dans un triangle le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres alors ce triangle n'est pas rectangle

donc, puisque BB'² =/= BX² + B'X, le triangle BB'X n'est pas rectangle

m'enfin après, ce genre de rédaction hyper détaillée et formelle, c'est je dirais à adapter à chaque prof en fonction de ses petites manies
le principal est la rigueur du raisonnement et une démonstration "gramaticalement" correcte (avec les on sait, or, donc qui ont leur signification grammaticale et pas juste pour faire joli et qui décrivent réellement le cheminement du raisonnement)
ce raisonnement sera d'autant plus clairement mis en évidence qu'il sera concis.
mettre une page de bazar dans le seul on sait que est illisible.

Posté par
SophieYoshi
Re 03-10-13 à 00:16

Mathafou, sans vouloir d'offenser, on m'a toujours appris à résumer comme çà.

De plus on m'a toujours dit que même si un triangle est quelconque, le plus grand côté est l'hypoténuse...

:x Bizarre bizarre...  :s

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration sur triangle rectangle 03-10-13 à 00:34

ton usage du donc est grammaticalement incorrect et ne reflète pas la logique du raisonnement
derrière donc on a une conséquence de ce qui est avant le donc
c'est la définition en français de "donc" et ce mot, même utilisé en mathématiques, garde son sens primordial.

et l'hypoténuse est bien exclusivement réservée aux triangles rectangles
ou alors trouve moi une source sérieuse qui dirait le contraire




etc etc

nulle part il n'est fait mention d'hypoténuse d'un triangle quelconque.

sans vouloir polémiquer non plus.

Posté par
SophieYoshi
Re 03-10-13 à 00:38

Non Mathafou, tu as tout à fait raison...

Mais mes sources proviennent de mes professeurs de collèges ^^'.

Posté par
SophieYoshi
Re 03-10-13 à 00:39

Collège*

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration sur triangle rectangle 03-10-13 à 01:00

comme je disais :

Citation :
c'est je dirais à adapter à chaque prof en fonction de ses petites manies
ça fait peut être un peu faux jeton, mais c'est le seul moyen de s'en sortir pour prendre en compte que les interlocuteurs / correcteurs etc sont des êtres humains...

Posté par
SophieYoshi
Re 03-10-13 à 15:54

^^

Posté par
NoobenM
re : Démonstration sur triangle rectangle 06-10-13 à 12:44

Merci beaucoup! J'ai compris maintenant



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