Inscription / Connexion Nouveau Sujet
démonstration (toujours pour les futurs terminales en priorité)
bonsoir,
un autre ne fera pas de mal por nos futurs terminales (oui les anciens peuvent partciper meme si c'est trop simple (pour eux...) restons modeste) . 
démontrer, pour tout entier naturel que:
voilà
comment on met les étoiles dans nos titres...infophile est tu là ?
Cliquez pour afficher
Tu sommes chacun des termes.
le premier terme est 3 fois ce que tu cherches.
le deuxieme est 3 fois la somme des k.
le dernier se calcule trivialement.
Et vu que tu sommes (k+1)^3-k^3, tu sommes une série telescopique
(k+1)^3-k^3 + k^3 - (k-1)^3 + (k-1)^3 - ... -1
au final tu as
(n+1)^3-1= somme de 3k^3+3k+1
si tu sais ce que vaut la somme des k premiers entiers c'est gagné, sinon tu appliques la même méthode, mais avec (k+1)^2-k^2 au lieu d'avoir une puissance 3.
oups:
au final tu as
(n+1)^3-1= somme de 3k^2+3k+1
est plus correct.
De toute facon je donne les grandes lignes, si tu fais les détails, ce sera plus propre.
a+
Ce n'est pas compliqué du tout, certains profs enseignent cette méthode dès la terminale sous forme d'exercice.
Pour que ce soit plus simple, prend la méthode dans le cas de la somme des k premiers entiers plutôt que de leur carré:
Que vaut la somme de gauche, que vaut la somme de droite (par rapport à ce que l'on cherche) ?
Conclusion ?
La somme de gauche vaut clairement (n+1)^2
la somme de droite vaut n+1 + 2
Si j'appelle , alors
(n+1)^2-n-1=2S
et donc
S=(n+1)(n+1-1)/2=n(n+1)/2
c'est ca le poblème c'est que je ne sais pas comment tu as trouvé ca:
La somme de gauche vaut clairement (n+1)^2
meci
On a égalité entre les deux sommes parce que
(k+1)^2-k^2
=
k^2+2k+1-k^2
et les k^2 s'éliminent
Pour calculer la première somme c'est facile, les termes s'éliminent 2 à 2:
(n+1)^2-n^2
+
n^2-(n-1)^2
+
(n-1)^2-(n-2)^2
+
...
+
(n-n+1)^2-0^2
le terme de droite de chaque ligne élimine le terme de gauche de la ligne suivante.
Il ne reste donc que le premier terme qui n'est pas éliminé.
c'est bon 
j'ai tout compris jusqu'à S=n(n+1)/2
après comment fait on pour ramener à la conclusion ?
car c'est archifaux d'écrire
merci
Là j'ai fait la méthode dans le cas où l'on calculait la somme des premiers entiers.
Si tu veux calculer la somme des carrés des premiers entiers, tu reprends la même méthode en développant (k+1)^3-k^3.
Si tu veux la somme des cubes des premiers entiers -> (k+1)^4-k^4
etc.
Je pense que cette méthode s'appelle la méthode de Newton.
a+
à mon avis ca se rejoint mais pas exactement quand j'ai refais ca me prend 6 lignes (je vais d'ailleurs réécrire la méthode d'otto comme ca tu pourras juger....)
je vais manger....
a+
Annuler
connectez vous