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Demontrer avec le produit scalaire (optimisation)
le but est le suivant " parmi tous les triangles inscrits dans un cercle, ceux dont la somme des carrés des cotés est maximale sont les triangles équilatéraux"
ABC est un triangle, G son centre de gravité , C son cercle circonscrit de centre O et de rayon R
1/a démontrez que pour tout point M: 
MA² = MG² + GA²- 2GM.GA
1/b exprimer MB² et MC²
1/c déduisez en que pour tout point MA²+MB²+MC²= 3MG²+GA²+GB²+GC² {1}
2/a que de vient la relation {1} dans chacun des chacun des cas suivants?
M est en A ; M est en B; M est en C; et M est en O
b/ deduisez en que AB²+AC²+BC²= 3(GA²+GB²+GC²)et GA² +GB²+GC²= 3(R²-OG²)
3/a de la question précédente déduisez en que AB² +AC² BC² < 9(R²-OG²) avec OG < R
b/ démontrer que si B est distinct de O alors
AB²+AC²+BC²< 9R²
C/ démontrer que AB² +AC²+ BC² zst maximal si et seulement si G est en O (ou ABC est équilatéral)
merci de votre aide
salut,
1.
puis utilise chasles en écrivant et développe le produit scalaire....
b) de même tu trouves:
et
c)on en déduit:
or G centre de gravité de ABC.... je te laisse terminer.
2. si M est en A, (1) devient:
AB²+AC² = 3AG²+GA²+GB²+GC², soit encore:
AB²+AC² = 4AG²+GB²+GC²
Si M = B:BA²+BC² = 4GB²+GA²+GC²
Si M=C:CA²+CB² = 4GC²+GA²+GB²
si M=O
OA²+OB²+OC² = 3OG² + GA²+GB²+GC²
b) on en déduit:
AB²+AC²+BA²+BC²+CA²+CB²=6GG²+6GB²+6GC² (en additionnant les relations obtenues pour M=A,M=B et M=C)
soit encore:
2(AB²+AC²+BC²)=6(GA²+GB²+GC²)
AB²+AC²+BC² = 3(GA²+GB²+GC²)
La dernière relation (M=O) nous fournit:
GA²+GB²+GC² = OA²+OB²+OC²-3OG²
Or OA²=OB²=OC²=R² (rayon du cercle circonscrit)
d'ou:
3(R²-OG²)=GA²+GB²+GC²
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