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démontrer qu un point appartient au plan grace au barycentre

Posté par lirha (invité) 18-03-06 à 17:55

Bonjour à tous,

Dans mon livre on me dit que pour prouver qu'un point B appartient à un plan (FCG) il suffit de prouver que B est le barycentre de (F,f), (C,c), (G,g).

Pourtan je n'y arrive pas dans mon application :
Soit EFGH un tétraèdre. A est le barycentre de (E,-1), (F,2) et (G,-3). B est le milieu de [AH]. C est le barycentre de (E,1) et (H,2) et D le barycentre de (F,2) (G,-3).
question: Prouver que B appartient à (FCG)

j'ai essayé tous les vecteur possible mais je n'y arrive pas ! je pensais plus à utiliser EA +2AF-3AG=0
mais je n'arrive pas à aboutir il me reste toujours des EA et CA en trop que je n'arrive pas à simplifier ! car pour trouver mon barycentre je cherche une relation liant BF, BC et BG.
Donc si vous pouviez m'aider se serait sympas. Merci.

Posté par
ManueRevare : démontrer qu un point appartient au plan grace au barycentr 18-03-06 à 22:51

Bonsoir,

1. B est le milieu de [AH], donc \vec{BA}+\vec{BH}=\vec{0}
2. A est le barycentre de (E,-1), (F,2) et (G,-3), donc \vec{BA}= \frac{-1}{-1+2-3}\vec{BE}+\frac{2}{-1+2-3}\vec{BF}+\frac{-3}{-1+2-3}\vec{BG} = \frac{-1}{-2}\vec{BE}+\frac{2}{-2}\vec{BF}+\frac{-3}{-2}\vec{BG}
3. C est le barycentre de (E,1) et (H,2), donc \vec{BC} = \frac{1}{1+2}\vec{BE}+\frac{2}{1+2}\vec{BH} = \frac{1}{3}\vec{BE} + \frac{2}{3}\vec{BH}.
Donc, \frac{2}{3}\vec{BH}=\vec{BC}-\frac{1}{3}\vec{BE}
donc \vec{BH}=\frac{3}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{BE}.

On a donc :
\vec{BA}+\vec{BH}=\vec{0}
\frac{-1}{-2}\vec{BE}+\frac{2}{-2}\vec{BF}+\frac{-3}{-2}\vec{BG} + \frac{3}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{BE} = \vec{0}
(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})\vec{BE}+(-1)\vec{BF}+\frac{3}{2}\vec{BG} + \frac{3}{2}\vec{BC}=\vec{0}
On obtient donc
(-1)\vec{BF}+\frac{3}{2}\vec{BG} + \frac{3}{2}\vec{BC}=\vec{0}
De plus -1+3/2+3/20 donc B est le barycentre de (F,-1) (G,3/2) et C(3/2)

En espérant n'avoir pas fait d'erreur,
ManueReva


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