Bonsoir Maa1910,

Le début de ce que tu as fait est bon

2) MAB triangle rectangle en M
MA.MB = 0  donc MI²-1/4AB² = 0 et MI = 1/2AB

On vérifie ainsi que dans un triangle rectangle , la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse

" On vérifie ainsi que dans un triangle rectangle , la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse "

en réalisant le projeté orthogonal de M?
je bloque complétement sur cette question

Comme MA.MB = 0 ( car les 2 vecteurs sont perpendiculaires ) et d'après la question 1) qui montre que MA.MB  = MI²-1/4AB² , on peut conclure que dans un triangle rectangle MI² - 1/4AB² = 0 , donc que MI² = 1/4AB² ,et en passant aux normes , que MI = 1/2AB

Ceci confirme ce que l'on apprend en classe de 4ème sur la médiane dans un triangle rectangle

Donc pour calculer la longueur de la médiane [MI] je peux utiliser le théorème de Pythagore ? ..

erreur de ma part! J'avais oublié que je n'étais plus dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle , oui .

Mais ici , ce n'est pas la question ; c'était simplement une confirmation de cette propriété de la médiane faite à l'aide du produit scalaire

Pour la question 3) , on est dans un triangle quelconque.
Donc il faudra utiliser une expression du produit scalaire contenant les normes des vecteurs ( reprends ton cours pour voir toutes les façons possibles pour exprimer un produit scalaire ), et aussi le résultat trouvé en 1)

Je peux utiliser?!

(vecteurs) MI.MA = (normes) MI x MA x cos(MI.MA)

le problème c'est que je n'ai pas la valeur de cos(MI.MA)

Tu peux aussi utiliser MA.MB = 1/2(||(MA+MB)||²-||MA||²-||MB||²)

On connaît ||MA|| = 3 et ||MB||= 5    et MA+MB = 2MI   ( vecteurs )

Utilise bien sûr aussi le résultat de la question 1 ; tu n'auras plus que MI comme inconnue

MA.MB = 1/2(||(MA+MB)||²-||MA||²-||MB||²)
MA.MB = 1/2 (||3+5||² - ||3||² - ||5||²)
MA.MB = 1/2 (64 - 9 - 25)
MA.MB = 1/2 * 30
MA.MB = 15
2MI  = 15
MI = 15/2
MI = 7.5

Attention , dans la relation MA.MB = 1/2(||(MA+MB)||²-||MA||²-||MB||²) , il n'y a que des vecteurs , et comme précisé plus haut  MA+MB = 2MI ( fais une figure pour t'en assurer )

Donc  MA.MB = 1/2(||(MA+MB)||²-||MA||²-||MB||²) = MI²-1/4AB²

Ce qui permet d'écrire

1/2 (||2MI||²-3² - 5² ) = MI²-1/4*7²
1/2 (4MI²-9 -25 ) = MI²-1/4*49
2MI² -34/2 = MI -49/4
MI² = 68/4 - 49/4 = 19/4
MI = 4,75 2,18

En réalisant la figure je trouve bien MI2,2
Merci beaucoup de ton aide!!!!!

Contente si j'ai pu t'aider !
Bonne nuit !