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dénombrement
Bonjour, voila j'ai qq problemes avec ces deux petites questions :
Déterminer le nombre d'entiers naturels à 5 chiffres vérifiant:
1) Les chiffres sont disposés en ordre strictement croissant
2) Les chiffres sont disposés en ordre croissant
merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
qu'as tu essayé?
Essaie de voir combien de possibilités tu as de choisir le premier nombre, le deuxième , le troisième etc.
j'ai essayé mé je suis pas sur que ca marche car le nombre de possibilité de choisir le 2e depend du premier nombre choisi ...
bonjour
je te propose une méthode à continuer et développer
Cas de croissance non stricte avec N = abcde
prenons a=0
prenons b=9 => cde=999 : (1)
prenons b=8 => cde=888 889 (2) et 899 (1) : 1+2 = (3)
prenons b=7 => cde=777 778 779 (3) et 788 789 (2) et 799 (1) : 1+2+3 = (6)
prenons b=6 => cde=666 667 668 669 (4) et 677 678 679 (3) et 688 689 (2) et 699 (1) : 1+2+3+4 = (10)
tu vois apparaître une loi du type
prenons b=n => ... : 1+2+3+4+...+n = ( n(n+1)/2 )
à continuer et à sommer puis passer à a=1 ...
Il y a sûrement plus simple, plus élégant avec des formules de proba mais ce n'est pas ma tasse de thé 
En le dénombrant ainsi, c'est un peu fastidueux mais tu es certain(e) d'aboutir
Philoux
Bonjour otto et dol;
Juste une idée:
je crois qu'il y a autant d'entiers naturels à 5 chiffres disposés en ordre strictement croissant (respectivement croissant) qu'il y a d'applications strictement croissantes (respectivement croissantes) de l'ensemble dans l'ensemble
et on se raméne ainsi à la question plus générale suivante:
et
étant deux ensembles finis de cardinals respectifs
et
,
-Combien y a t il d'applications strictement croissantes de dans
? (rép:
).
-Combien y a t il d'applications croissantes de dans
? (rép:
).
Sauf erreurs...
je croyais que représentis le nombre total de combinaisons et o pas le d'applications strictement croissante
"je croyais que C(n,p) représentis le nombre total de combinaisons et o pas le d'applications strictement croissante"
Euh... . Ce n'est pas pour cela que
Déterminer le nombre d'entiers naturels à 5 chiffres vérifiant:
1) Les chiffres sont disposés en ordre strictement croissant
C'est en effet la même chose que de dénombrer le nombre d'applications strictement croissantes de dans
.
elhor_abdelali indique que le nombre d'applications strictement croissantes de l'ensemble de cardinal
dans
de cardinal
est égal à
. (On suppose évidemment ces deux ensembles disposant d'un ordre total.)
Essayons de le démontrer.
Démonstration 1
Définir une application strictement croissante de
dans
revient simplement à choisir dans
les images, différentes deux à deux, des
éléments de
, c'est-à-dire une partie de
de cardinal
. Il y en a
. Ensuite, on ordonne ces
images pour les classer en ordre strictement croissant. Il n'y a qu'une seule façon de le faire. CQFD
Démonstration 2
On va procéder par récurrence sur .
Soit la propriété :
: "pour tout
, le nombre
d'applications
strictement croissantes de l'ensemble
de cardinal
dans
de cardinal
est égal à
."
est vraie.
Supposons vraie et tentons de démontrer
.
Soit donc un ensemble de cardinal
Soit le plus grand élément de
.
Pour faciliter la lecture de la démonstration, on va supposer que mais la démonstration reste vraie dans le cas général.
peut prendre n'importe quelle valeur dans
, car il faut au moins garder de côté les
plus petits éléments de
, pour servir d'images aux autres éléments de
.
Supposons que (
).
Il faut ensuite déterminer les images des autres éléments de , c'est-à-dire le nombre d'applications strictement croissantes de
de cardinal
dans
de cardinal
. D'après l'hypothèse de récurrence, il y a
possibilités. Finalement, le nombre cherché vaut :
On reconnaît le coefficient de dans :
coefficient de
dans
* coefficient de
dans
où et
sont choisis tels que :
(i)
(ii)
On reconnaît le coefficient de dans
Donc, finalement :
Ouf !
Sauf erreur.
Nicolas
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