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deplacement sur la terre

Posté par adibou666 (invité) 13-08-07 à 10:38

Bonjour tout le monde !!

Alors voila mon probleme: je suis actuellement en stage et je dois realiser une fonction de navigation d'un objet

sur la surface de la terre.

Voici les donnees de depars : j'ai une coordonnee latitude longitude de depars en radian et un deplacement vers le

nord et l'Est constant en metre par seconde.

Mon probleme est donc de pouvoir calculer la nouvelle position (latitude, longitude ) apres un certain temps sur la

surface de la planete sachant que je dois travailler sur une sphere.

Je vous remercie d'avance

Posté par
ciocciure : deplacement sur la terre 13-08-07 à 11:08

salut
tu connais le rayon de la terre??

Posté par
mikayaoure : deplacement sur la terre 13-08-07 à 11:12

salut ciocciu et adibou666

voir ici ou mieux, ici :

Posté par
ciocciure : deplacement sur la terre 13-08-07 à 11:15

bon admettons que tu connaisses ce rayon R (en mètres)
un tour de la terre fait 2pi R en m
donc ta vitesse est de v m/s donc  tu calcules en une seconde de quel angle ton mobile a bougé par une règle de 3
360° ----> 2 pi R
x° -----> v  donc x= 360 v/(2 pi R)
et voilà
à ajouter ou enlever de tes coordonnées initiales
bye

Posté par
Bourricotre : deplacement sur la terre 13-08-07 à 11:33

Et pour un déplacement selon une direction non parallèle à l'équateur :

un document à télécharger depuis le site de l'IGN :

Posté par adibou666 (invité)re : deplacement sur la terre 13-08-07 à 11:46

OKi merci,
cependant je ne croi pas que ce soit aussi simple que ca etant donne que le rayon de la terre n'est pas le meme a chaque fois que tu te deplaces !!

Posté par
Bourricotre : deplacement sur la terre 13-08-07 à 12:04

Citation :
sur la surface de la planete sachant que je dois travailler sur une sphere.


Ton sujet dit qu'on suppose que la terre est assimilable à une sphère

Si tu veux la distance réelle avec les variations de rayons de la terre, il y a des formules compliquées avec des coefficients dans des tables ; mais là cela dépasse mes compétences.

Cherche sur Google

Posté par
ciocciure : deplacement sur la terre 13-08-07 à 12:36

bin il faudrait que tu donnes l'énoncé complet et exact adibou car sinon on va prendre les hypothèses habituelles.......

Posté par adibou666 (invité)re : deplacement sur la terre 13-08-07 à 13:01

Yes desole,

Non je travail simplement sur une sphere donc le rayon va etre fixe a 20 000 km

c juste que l'on me donne une position latitude, longitude de depars en radian donc je sais me placer sur la terre a priori sachant que mon repere est abscisse : Est et ordonnee  : nord.

Le probleme majeur pour moi est en faite de savoir ou je vais etre apres un certain temps.
Donc jusque la je fais distance = vitesse * temps pour la distance parcourue vers le nord et l'Est.
Je suis perdu a la prochaine etape qui est: maintenant que je sais de combien je me suis deplace, comment puis je calculer cette nouvelle position. Sachant que la distance parcoure a ete parcourue sur la surface de la terre et non sur les axes (abscisse, ordonnee) ...
Pitit probleme de trigo je pense...

Merci bien

Posté par adibou666 (invité)re : deplacement sur la terre 13-08-07 à 16:33

erf je me suis plante, le rayon est de 6400 km dsl !!

Posté par
Ksilverre : deplacement sur la terre 13-08-07 à 16:38

Salut !

"Non je travail simplement sur une sphere donc le rayon va etre fixe a 20 000 km"

plus 6400km de rayon la terre quand meme hein ^^


sinon pour ton probleme il "suffit" de trouver un formulaire d'utilisation des coordoné sphérique, qui donne l'expression de la vitesse en fonction de la variation des angles dans le repère sphérique.

un point donné on associe une latitude Phi et une longitude theta.
ainsi qu'un repère sphérique composé de trois vecteur orthonormé :

Ur pointé vers la vertical.
Utheta pointé vers le l'ouest
Uphi pointé vers le nord

ensuite il faut trouver l'expression de la vitesse v (c'est la qu'on a bessoin d'un petit formulaire ou d'un peu de calcule...) en fonction de Phi' theta' et de ces trois vecteurs de base. et la tu n'aurta plus qu'un petit systeme a résoudre pour trouver theta' et phi' en fonction de la vitesse de ton point (tes donné) et de sa position.


a partir de la deux solution d'offrent a toi :

1) la methode utilisé la méthode d'euler pour suivre l'evolution du point
2) cherchez à ressoudre explicitement l'equation différentielle vérifié par phi et theta (en espérant que ca soit possible ! ) et trouvé directement la position atteinté apres un temps t donné.


sachant qu'avec la première methode tu va avoir un sérieur probleme des qu'on va passer pres des poles de la terre (qui sont des point singuliers des coordoné sphérique...).

Posté par adibou666 (invité)re : deplacement sur la terre 13-08-07 à 17:11

Oki merci tt le monde

Bon je sens que ca va pas etre simple a resoudre, et surtout de passer ca en programmation par la suite ...

merci bien

Posté par
Dremire : deplacement sur la terre 19-08-07 à 03:00

Considérons R le rayon terrestre considéré constant (R=6378\,\text{km}), la latitude \theta\in[-\pi/2,\pi/2], la longitude \phi\in[-\pi,\pi[, les vecteurs tangents \vec{u_\theta} qui pointe vers le Nord et \vec{u_\phi} qui pointe vers l'Est.
Il faut que \theta(0)\notin\{-\pi/2;\pi/2\}.

Une dérivation élémentaire montre que
\vec{v}=R\frac{d\theta}{dt}\vec{u_\theta}+R\cos\theta\frac{d\phi}{dt}\vec{u_\phi}.
Or les composantes de \vec{v} dans la base orthonormée (\vec{u_\theta},\vec{u_\phi}) sont constantes d'après l'énoncé:
\vec{v}=v_\theta(0)\vec{u_\theta}+v_\phi(0)\vec{u_\phi}.

D'une part, l'équation-égalité entre les expressions de la première composante de \vec{v} donne
\theta(t)=\theta(0)+\frac{v_\theta(0)}{R}t.
Pour l'intervalle de temps dans lequel \theta(t) évolue,
si v_\theta(0)\not=0 alors t\leq t_{\text{final}}=R\left(\frac{\pi}{2|v_\theta(0)|}-\frac{\theta(0)}{v_\theta(0)}\right).

D'autre part, l'équation-égalité entre les expressions de la deuxième composante de \vec{v}, à condition que \theta(t)\notin\{-\pi/2;\pi/2\}, a pour solution à une constante additive près
\Phi(t)=\frac{v_\phi(0)}{R}\int_0^t\frac{1}{\cos\theta(u)}\,du.
Si v_\theta(0)=0 alors
\Phi(t)=\frac{v_\phi(0)}{R\cos(\theta(0))}t,\ t\in\mathbb{R}.
Si v_\theta(0)\not=0 alors
\Phi(t)=\frac{v_\phi(0)}{v_\theta(0)}\int_{\theta(0)}^{\theta(t)}\frac{1}{\cos(x)}\,dx=\frac{v_\phi(0)}{2\,v_\theta(0)}\,\ln\left(\frac{1+\sin\theta(t)}{1+\sin\theta(0)}\,\frac{1-\sin\theta(0)}{1-\sin\theta(t)}\right),\ t<t_{\text{final}}.

Si v_\phi(0)=0 alors \Phi(t)=0 et
\phi(t)=\phi(0).
Si v_\phi(0)\not=0 alors
\phi(t)=\phi(0)+\Phi(t)-2\pi\,k\ \text{ avec } k=\text{partie entiere}\left[\frac{\pi+\phi(0)+\Phi(t)}{2\pi}\right].

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : deplacement sur la terre 19-08-07 à 11:49

J'ai déterminé ceci :

Avec X (en radians) l'angle de latitude.
Et avec Y (en radians) l'angle de longitude.

Xo et Yo repèrent le point de départ.

X = X_o + kt   (k est proportionnel à la vitesse)

(X dans ]-Pi/2 ; Pi/2[)

Y = Y_o - ln(\frac{1+tg(\frac{X_o}{2})}{1-tg(\frac{X_o}{2})}) + ln(\frac{1+tg(\frac{X}{2})}{1-tg(\frac{X}{2})})

Lorsque Y > 2Pi, il faut lui retirer autant de fois 2Pi qu'il est nécessaire pour le ramener dans [-Pi ; Pi]
-----
Sauf distraction ou erreur.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : deplacement sur la terre 19-08-07 à 11:57

Dans ma réponse précédente, la valeur de k est:

k = \frac{v}{R.\sqrt{2}}

Avec (si t est en secondes) :
v la vitesse de déplacement en m/s
R le rayon de la Terre en m

Sauf distraction ou erreur.  

Posté par
Dremire : deplacement sur la terre 20-08-07 à 00:49

Bonjour, j'ai traité le cas général d'un déplacement terrestre dont les composantes du vecteur vitesse dans la base tangente restent constantes à tout instant.
Si on suppose que la direction et le sens du vecteur vitesse sont le Nord-Est, alors mes formules se simplifient avec
v_\theta(0)=v_\phi(0)=\frac{v(0}{\sqrt{2}}>0.
On trouve des résultats équivalents à ceux de J-P. Je les renote pour la précision des conditions qui esquissent l'algorithme.

On définit la constante R=6378000 \text{ en m}.
On demande d'entrer les valeurs de \theta(0)\in[-\pi/2,\pi/2],\ \phi(0)\in[-\pi,\pi[,\ v(0)>0 \text{ en m/s}.
On calcule:
\alpha=\frac{v(0)}{R\sqrt{2}} \text{ et } t_{\text{final}}=\frac{\pi/2-\theta(0)}{\alpha}.

Si \theta(0)\in\{-\pi/2;\pi/2\} alors on affiche \theta(t)=\theta(0) et \phi(t)=\phi(0), et on sort du programme.
Sinon on calcule:
\gamma=\phi(0)+\frac{1}{2}\ln\frac{1-\sin\theta(0)}{1+\sin\theta(0)}+\frac{\ln2}{2}.
Puis on fait une boucle pour demander autant de valeurs de t\geq0 \text{ en s} que l'on veut.
Si t\geq t_{\text{final}}
alors on affiche \theta(t)=\pi/2 et \phi(t)=\text{indefinie}
sinon on affiche
\theta(t)=\theta(0)+\alpha t
et, avec
V(t)=\gamma+\frac{1}{2}\,\ln\left(\frac{1}{1-\sin\theta(t)}-\frac{1}{2}\right)\ ,
on affiche
\phi(t)=V(t)-2\pi\,\left[\frac{V(t)+\pi}{2\pi}\right]\ , où [x] désigne la partie entière du réel x,
puis on boucle.

On peut modifier l'algorithme pour tracer la trajectoire dans le cas où \theta(0)\notin\{-\pi/2;\pi/2\}.
On calcule \theta(t) et \phi(t) pour t=t_k=\frac{k}{1000}\,t_{\text{final}},\ 0\leq k\leq1000 par exemple.
Avec
\gamma=\phi(0)+\frac{1}{2}\ln\frac{1-\sin\theta(0)}{1+\sin\theta(0)}+\frac{\ln2}{2},\ \beta=\frac{\pi/2-\theta(0)}{1000},\ h=\beta\,\frac{R\sqrt{2}}{v(0)},\ \beta_1=\sin\beta,\ \beta_2=\sqrt{1-\beta_1^2} ,
on a les formules de récurrence:
pour k=0 à k=1000,
\text{si } k=0 \text{ alors } t_k=0;\ \theta_k=\theta(0) \text{ sinon } t_{k}=t_{k-1}+h;\ \theta_k=\theta_{k-1}+\beta\ ; \\ \text{si } k=1000 \text{ alors } V_k=0,\ \phi_k=0 \text{ sinon } V_k=\gamma+\frac{1}{2}\,\ln\left(\frac{1}{1-\sin\theta_k}-\frac{1}{2}\right),\ \phi_k=V_k-2\pi\,\left[\frac{V_k+\pi}{2\pi}\right]\ ;
on place alors sur un graphique 3D le point de coordonnées sphériques (R,\theta_k,\phi_k), et on passe au k suivant s'il existe.

On peut aussi pour tracer la trajectoire normalisée sur la sphère de rayon 1, passer en coordonnées cartésiennes normalisées (X=x/R=\cos\theta\cos\phi,\ Y=y/R=\cos\theta\sin\phi,\ Z=z/R=\sin\theta):
pour k=0 à k=1000,
\text{si } k=0 \text{ alors } Z_k=\sin\theta(0) \text{ sinon } Z_k=\beta_2\,Z_{k-1}+\beta_1\,\text{ct}_{k-1}\ ; \\ \text{si } k=1000 \text{ alors } V_k=0,\ \phi_k=0 \text{ sinon } V_k=\gamma+\frac{1}{2}\,\ln\left(\frac{1}{1-Z_k}-\frac{1}{2}\right),\ \phi_k=V_k-2\pi\,\left[\frac{V_k+\pi}{2\pi}\right]\ ; \\ \text{ct}_k=\sqrt{1-Z_k^2};\ \text{sp}_k=\sin(\phi_k)\ ; \\ Y_k=\text{ct}_k\,\text{sp}_k\ ; \\ \text{acp}_k=\sqrt{1-\text{sp}_k^2};\ \text{ si } \phi_k\in[-\pi/2,\pi/2] \text{ alors } \epsilon_k=1 \text{ sinon } \epsilon_k=-1\ ; \\ X_k=\text{ct}_k\,\epsilon_k\,\text{acp}_k\ ;
on place alors sur un graphique 3D le point de coordonnées cartésiennes (X_k,Y_k,Z_k) sur la sphère de rayon 1, et on passe au k suivant s'il existe.


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