Salut Nil !

Euh... je ne sais pas trop... alors je me lance dans la rédaction complète
:

Juste une remarque : je suppose que A, B et C sont inclus dans D_f,
de façon à pouvoir parler de la dérivabilité de f sur A
B C

Par hypothèse, a est dérivable sur A.
Or ,  A B C  
A
Donc a est en particulier dérivable sur A B
C.

De même, b et c sont est en particulier dérivable sur A
B C.

Or la somme de fonctions dérivables sur un intervalle est également
dérivable sur ce même intervalle.

Donc f = a + b + c est bien dérivable sur A B
C

Bref : je vote POUR


@+
Titi VTS

Bonjour Nil

Oui , normalement c'est juste

Lol Titi VTS

Ta réponse est plus compléte que la mienne

merci du coup de main

je sais, Nightmare... c'est plus fort que moi... j'arrive
pas à aller à l'essentiel



Titi VTS

Bah , c'est toujours mieux qu'une réponse comme la mienne

Je posais cette question, car je trouve qu'il est parfois fastidieux
de justifier la dérivabilité d'une somme de fonction, on dit
par exemple que

f(x) =  x + x
est dérivable sur ]0;+oo[ , car les fonctions x->x et x->x
sont toutes deux dérivables sur ] 0 ; + oo [

mais cette maniere de rédiger me semble un peu incomplète, car on ne précise
pas réellement l'intervalle de dérivabilité de la fonction x->x
qui est R.

Enfin c'est plus une question de rédaction qu'autre chose, mais
je pense que dire :

- la fonction x->x est dérivable sur R
- la fonction x->x est dérivable sur ] 0 ; +oo [

f étant la somme de ces deux fonction , elle est dérivable sur R]0;+oo[
  = ] 0 ; + oo [

voila

Bien vu !
Moi, j'ai plutôt l'habitude de rédiger autrement... genre :

x ->   x est dérivable sur ] 0; +[
et x -> x est dérivable sur R, et donc en particulier sur ] 0; +[.
f est donc dérivable sur ] 0; +[, en tant que somme
de fonctions dérivables sur cet intervalle

C'est pour ça que j'ai préféré tout reprendre tout à l'heure
...

Re

Moi je dirai aussi :

x -> Vx + x

est dérivable sur ]0;+oo[ comme somme de fonction dérivable sur cet intérval

Le probléme avec la mienne , c'est qu'on peut trés bien
dire aussi :

x->Vx + x

est dérivable sur ] 5 ; +oo[ comme somme de fonction dérivable sur cet
intervalle

Aprés tout est une question de compréhension de la phrase

Oui, Nightmare... je crois que c'est la rédaction la plus répandue.
En tout cas, je n'avais jamais vu la tienne,  Nil...

Bien sûr, je suis convaincue maintenant...
D'autant plus que dans notre rédaction, on prend l'intersection des deux
ensembles de dérivation, mais sans le dire... Alors que toi, tu le
dis clairement...

Le seul reproche que je ferais a vos rédaction , c'est que l'on
site les fonctions ....

Si l'on a une fonction du genre :

f(x) = A(x)+B(x)+C(x) ...... + Z(x)

Il est long de définir chaque intervalle de dérivabilité ....

C'est clair !
Mais dans la notre, il faut avoir déterminé l'intersection AVANT
de commencer à rédiger...
Donc il faut l'avoir fait au bouillon ou de tête auparavant... sauf
qu'avec 26 fonctions, tu ne me ménages pas, nightmare ...
  

Peut etre alors suis-je un pionnier d'une nouvelle maniere de
rédiger :
Bref, c'est vrai que ta rédaction est aussi bonne Titi VTS


Avant de vous laisser en paix, j'aurai une toute derniere question,
toujours dans la maniere de rédiger, à vous adresser :

On considère f la fonction définie par f(x) = (ln x) - x et l'on
veut connaitre ses variations.

f est dérivable sur ] 0 ; + oo [  (je passe les détails cette fois
:p)

Donc pour tout x > 0 on a f'(x) = 1/x - 1 = (1-x)/x

Ce qui me gène un peu, c'est que dans ce cas, l'intervalle
de dérivabilité de f, ne correspond pas
à l'ensemble de définition de f' .

Pour étudier les variations de f(x) on pourra rédiger comme cela :

f'(x) > 0 <=> (1-x)/x > 0
               <=> x(1-x) > 0  et x<>0
                <=> x € ] 1 ; +oo [  car x > 0

Néanmoins je trouve (peut-être à tord je ne sais pas) que la derniere équivalence
est inexacte,
puisque l'on omet l'intervalle ] - oo ; 0 [ qui vérifie bien lui
aussi f'(x) > 0 , car f n'est dérivable
que pour tout x > 0.

C'est pourquoi je proposerai cette rédaction là (mais je ne suis pas sur
qu'elle soit correcte ! ) :



f(x) croissante

<=>{  x € ] 0; +oo [ (intervalle de dérivabilité de f)
       {   f'(x) > 0


(je saute ici quelques étapes, puisqu'elles sont identiques à la
premiere méthode...)

<=> { x € ] 0; +oo [
        { x€ ]-oo;0[ U ] 1;+oo[

<=> x€ ] 1; +oo [


Comme ça on a bien un système d'équivalence "propre"
Qu'en pensez vous ?

Pourquoi vouloir étudier le signe de f'(x) sur R tout entier
alors que f n'y est pas défini ?

f est défini sur ]0;+oo[

On étudi donc ses variation pour tout x>0 ....

oui tout à fait, sinon cela n'aurai aucun sens.
Seulement, c'est l'équivalence

x(1-x) > 0  et x<>0  <=> x € ] 1 ; +oo [  

qui me gène un peu, puisqu'elle n'est pas totalement vrai

On étudi le signe de (1-x)/x pour tout x> 0

(1-x) > 0 si 0
(1-x)<0 si x > 1

Donc (1-x)/x >0 sur ]0;1[

et (1-x) < 0 sur ]1 ; +oo [

On en déduit que f est strictement croissante sur ]0;1[ et décroissante
sur [1;+oo[

C'est la rédaction a avoir ( enfin , grossiérement ... )

Je ne comprend pas pourquoi tu étudies le signe de x(1-x)

Il n'est absolument pas gênant que f' soit définie sur
un intervalle plus grand que l'ensemble de dérivabilité de f
!

En effet, par exemple, les fonctions
g : -->
        x   -->       x+1
et h :  [0; + [ -->
                 x     -->       x+1
sont deux fonctions différentes...

Dans ton exemple, ce nest donc pas la fonction
g : ^* -->
       x  -->   1/x - 1
qui est la dérivée de f, mais bien la restriction de g à l'ensemble
de dérivabilité de f !

D'où l'importance de commencer par déterminer l'ensemble de
dérivavilité d'une fonction avant même de se lancer dans
le moindre calcul...

daccord

et la rédaction que j'ai soumise, te parait elle correcte ?
En fait, je crois que ce n'est ni plus ni moins que la même que
toi, seulement, j'ai inclu la condition x>0 dans un systeme
d'équivalence, de façon à ce que ce soit plus clair ^^

Nightmare tu disais :
Je ne comprend pas pourquoi tu étudies le signe de x(1-x)



Le signe de (1-x)/x est le même que le signe de x(1-x)  (lorsque tu
fais un tableau de signe, tu ne différencie pas quotient, et produit),
à ceci pres que x ne doit pas prendre la valeur 0.
Il est plus facile de tourner le probleme de cette maniere, car on sait
directement trouver le signe de x(1-x) par les propriétés d'un
polynome ayant un discriminant positif.

Je suis en retard pour la suite de ta question, mais voilà ce que
je pense de la rédaction de l'étude du sens de variations de
f :

tu sais que f est définie et dérivable sur ]0 ; + [...

Donc voilà comment je commencerai ma rédaction :
Soit x quelconque dans  ]0 ; + [
Alors
f'(x) > 0 <=> (1-x)/x > 0
               <=> x(1-x) > 0
et pas f'(x) <=> x(1-x) > 0 et x0
car on le sait déjà : tu as déjà annoncé que x
]0 ; + [...

Même remarque pour
                <=> x € ] 1 ; +oo [  car x > 0

oki, en tout cas, merci d'avoir pris le temps de me répondre

Oui , moi ça ma l'air d'aller

enfin , il voici la rédaction qu'il faudrait avoir :

f(x) = lnx - x

Df = ]0;+oo[

f est dérivable sur ]0;+oo[ comme somme de fonction dérivable sur cet
ensemble

Sur ]0;+oo[

f'(x) = 1/x - x
= (1-x)/x

Or :

(1-x)0 si x]0;1]

et (1-x)< 0 si x>1

d'ou f'(x)0 sur ]0;1]

et f'(x)<0 sur ]1;+oo[

En en déduit que f est croissante sur ]0;1] et strictement décroissante
sur ]1;+oo[

Concrétement c'est ça , aprés on peux ajuster à sa maniére

Oui...  ça me va aussi !!

Juste, pour en rajouter une couche, je préciserais :

...
Or, pour tout x de ]0 ; + [,
(1-x)0 si x]0;1]
et (1-x)< 0 si x>1
...