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Dérivation

Posté par
Albanmaths2
05-01-22 à 16:26

Bonjour, je bloque sur cet exercice, j'aimerais bien un peu d'aide. Merci beaucoup

Questions ouvertes:  La même dérivée : f. et g sont les fonctions définies sur R\{2) par f(x)= 3x-1/(x-2)  et g(x)=5/(x-2 )
Déterminer les dérivées de f et de g. Que constate-t-on ?
f'(x)= —5/(x-2)^2 et g'(x)= —5/(x-2)^2
On constate donc qu'elles ont la même dérivée.
b. Existe-t-il d'autres fonctions dont la dérivée est égale à f' ?

u/v = (u' x v — v' x u) / v^2
or u/v = —5/(x-2)^2
donc (u' x v — v' x u) / v^2 = —5/(x-2)^2
Il faut donc que le dénominateur soit toujours égal à x—2
Ainsi (u' x v — v' x u) = —5
Donc u' x (x-2)  — 1 x u = —5

Voilà je suis bloquée je ne suis pas sur d'être sur la bonne piste car je ne parviens pas à déterminer u' pour résoudre l'équation.

Posté par
hekla
re : Dérivation 05-01-22 à 16:34

Bonjour

 -1=-6+5 écrivez autrement f(x)

Il manque d'ailleurs des parenthèses dans votre texte

Posté par
Albanmaths2
re : Dérivation 05-01-22 à 21:01

Oui, je vous prie de m'excuser, il manque les parenthèses :
f(x)= (3x-1)/(x-2)

f(x)=(3x-6+5)/(x-2)  ?

Posté par
Leile
re : Dérivation 05-01-22 à 21:36

bonjour,

en attendant le retour de hekla, à qui je rendrai la main :

f'(x)  et g'(x)  sont correctes.

en effet,   v(x)=(x-2)
pose   u(x) = ax+b
et
écris   u' v  -  u v'  =  -5
qu'est ce que ca donne ?

Posté par
Albanmaths2
re : Dérivation 05-01-22 à 22:05

donc u'(x)=a
et
u' v  -  u v'  =  -5  
<=> a(x-2) - (ax+b)x1=-5
a= 5/2 -1/2b

Posté par
Albanmaths2
re : Dérivation 05-01-22 à 22:05

Merci pour votre aide

Posté par
Leile
re : Dérivation 05-01-22 à 22:19

oui, donc il existe d'autres fonctions dont la dérivée est identique,
celles qui sont de la forme
(ax +b)/(x-2)   avec   2a + b = 5

OK ?

Posté par
hekla
re : Dérivation 05-01-22 à 22:42

Bonjour Leile

Ce que je pensais faire  

f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}=\dfrac{3x-6+5}{x-2}=\dfrac{3(x-2)+5}{x-2}=3+\dfrac{5}{x-2}=3+g(x)

On en déduit que f(x)-g(x)=3  soit une constante

Donc si l'on veut que f et g aient même dérivée elles ne peuvent différer que d'une constante.

Posté par
Albanmaths2
re : Dérivation 06-01-22 à 08:22

Ok super j'ai compris donc on peut passer par différentes étapes pour arriver à démontrer qu'il y a d'autres fonctions dont la dérivée est égale à f'.

Posté par
Leile
re : Dérivation 06-01-22 à 13:22

bonjour  à vous deux

hekla,
tu as raison, deux fonctions qui différent juste par une constante ont la même dérivée.
par exemple   f(x) =  x²    et   g(x) = x² +1

Mais ici, on voulait savoir si d'autres fonctions ont une dérivée égale à f'(x).
il me semble qu'on ne pouvait pas se limiter à ta conclusion. Qu'en dis tu ?

Posté par
lake
re : Dérivation 06-01-22 à 13:38

Bonjour à tous,

Mon petit grain de sel :

  

Citation :
oui, donc il existe d'autres fonctions dont la dérivée est identique,
celles qui sont de la forme
(ax +b)/(x-2)   avec   2a + b = 5


  Autrement dit :

    h(x)= \dfrac{ax-2a+5}{x-2}

ou encore h(x)= a+\dfrac{5}{x-2}=a+f(x)

Je pense que tout le monde est d'accord


  

Posté par
lake
re : Dérivation 06-01-22 à 13:44

C'est d'ailleurs plutôt h(x)=a+g(x) mais ça ne change rien

Posté par
hekla
re : Dérivation 06-01-22 à 13:57

Bonjour

Il me semble que c'est le même principe lors de la recherche de primitives. Elles sont toujours définies à une constante près

Posté par
Leile
re : Dérivation 06-01-22 à 14:05

hello,

merci lake,

en notant h(x)  comme nouvelle fonction, je comprends mieux ce que hekla voulait dire.
Ce qui me gênait, c'était de conclure que  f(x)=3 + g(x) : cela n'introduit pas une nouvelle fonction, c'était déduit de l'énoncé.
mais en écrivant   h(x)=a + g(x), c'est plus clair.

bonne journée à vous tous.



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