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Dérivation
Bonsoir, je fais un exercice de dérivation et j'aimerais bien un peu d'aide !
Voici l'énoncé :
a. Démontrer que les courbes Cf et Cg admettent une tangente commune si et seulement si i existe un couple (a;b) solution du système :
f'(a)=g'(b)
f'(a)*(b-a)=g(b)-f(a)
J'ai dit que pour que deux fonctions admettent la même tangente il fallait qu'elles aient le même coefficient directeur de tangente. Et il faut que la dérivée de la fonction multiplié par la différence d'abscisse entre les deux courbes soit égale à la différence en ordonnée.
b. On considère les fonctions f(x) = 2x^2+1 et g(x)=-x^2+6x-5. Montrer que les courbes Cf et Cg admettent deux tangentes communes; on note T1 et T2.
J'ai trouvé deux couples de solutions : (a1,b1)=( -1/3; 11/3) et (a2,b2)= (1;1) mais je ne sais pas comment écrire les équations de tentantes à partir de là.
c. On nomme A et B les points d'intersections respectifs de T1 et T2 avec Cf ; et C et D les points d'intersection respectifs de T1 et T2 avec Cg. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Elles sont parallèles si les coefficients directeurs des tangentes ont le même coefficient directeur. Mais il faut que je trouve un moyen de résoudre une équation...
3. On considère les fonctions f(x)=x^2 et g(x)=1/x
Montrer que les courbes Cf et Cg admettent une tangente commune. Déterminer son équation.
J'ai fait : 2x= -1/x et j'ai trouvé -0,7937 environ pour l'abscisse mais je ne suis pas certain.
Voilà, j'ai conscience que l'exercice est long mais j'aurais vraiment aimé le comprendre car il me permettrait de répondre aux questions que j'ai sur ce chapitre ! Merci par avance et bonne fin de soirée.
Salut,
J'ai dit que pour que deux fonctions admettent la même tangente il fallait qu'elles aient le même coefficient directeur de tangente.Et il faut que la dérivée de la fonction multiplié par la différence d'abscisse entre les deux courbes soit égale à la différence en ordonnée.
Tu ne fais que décrire la condition donnée sans en comprendre le sens, ce qui donne une phrase n'ayant aucune signification.
Ecris plutôt ce qu'est l'équation d'une tangente à Cf au point A d'abscisse xA, et l'équation d'une tangente à Cg au point B d'abscisse xB, puis "égalise" ces deux équations...
J'ai trouvé deux couples de solutions : (a1,b1)=( -1/3; 11/3) et (a2,b2)= (1;1) mais je ne sais pas comment écrire les équations de tentantes à partir de là.
Bonjour,
Pour 1), il faut détailler plus le raisonnement.
Il y a un "si et seulement si" dans la question. Donc il faudra raisonner par équivalence, ou faire une réciproque.
Noter A et B les points de contact, et a et b leurs abscisses.
On a A(a;f(a)) et B(b;f(b)).
Puis raisonner.
Pour 2), pour a donné, tu calcules f(a) et f'(a).
Tu dois connaître une formule pour écrire une équation de la tangente.
PS Un autre fois, sépare l'énoncé de tes recherches en commençant par écrire l'énoncé en entier 
Donc pour la première question je devrais l'écrire comme ça :
4x(x-xa)+2xa^2+1=(-2x+6)(x-xb)-xb^2+6x-5
Pour trouver les solutions du couple j'ai résolu le système :
4a=-2b+6
4a(b-a)=-b^2+6b-5-(2a^2+1)
et j'ai trouvé (a1,b1)= (2+racine 2/2; 1-racine2)
et (a2,b2)= (2-racine2/2; 1+racine2)
J'avais fait une faute de calcul je vous prie de m'excuser.
Pour la 1ère question, tu dois faire un raisonnement.
Utilise les lettres a et b au lieu de xa et xb.
Par ailleurs, pour les exposants, il y a le bouton X2
sous le rectangle zone de saisie.
Pour les indices, il y a le bouton X2 .
Ne pas oublier de faire "Aperçu" avant "POSTER".
Je n'arrive à dire seulement que g(b)-f(a)* [b-a]= f'(a) et donc g'(b) d'après la première condition
Parce que à gauche, c'est en fait le coefficient directeur de la droite qui passe par (a,f(a)) et (b, g(b)). Mais je ne sais pas quoi dire d'autre. Surtout qu'ils ne le présentent pas comme ça.
Après avoir justifié a 
b, utilise le coefficient directeur de la droite (AB).
N'oublie pas que A(a,f(a)) et B(b,f(b)).
Je n'arrive à dire seulement que g(b)-f(a)* [b-a]= f'(a)
Oui pardon c'est bien (g(b)-f(a)) / (b-a) que je voulais écrire et par l'égalité des produits je retombe bien sur la formule proposée.
Il sont bons si tu mets des parenthèses aux numérateurs des fractions :
(a1,b1)= ((2+racine 2)/2; 1-racine2)
et (a2,b2)= ((2-racine2)/2; 1+racine2)
la FAQ du forum
LaTeXOk super merci beaucoup et pour démontrer que les deux droites sont parallèles je peux dire que si les droites sont parallèles, elle ont le même coefficient directeur
donc -2x(2(2+racine2))+6x(2(2+racine2)=16+8racine2
et 4x2(2+racine 2)=16+8racine2 aussi
salut
l'équation réduite de la tangente TA à la courbe de f au point A(a, f(a)) est y = f(a) + f'(a) (x - a) (1)
l'équation réduite de la tangente TB à la courbe de g au point B(b, g(b)) est y = g(b) + g'(b) (x - b) (2)
pour que les courbes de f et g admettent une tangente commune il est nécessaire que leurs pentes soient égales donc que f'(a) = g'(b)
ce qui assure que les tangente sont parallèles mais ce n'est pas suffisant : elles peuvent être strictement parallèles
pour assurer qu'elles sont confondues il suffit que A appartienne à TB ou de façon équivalente B appartienne à TA
ce qui donne les deux conditions ...
PS : je n'ai pas travailler par équivalence mais on pourrait ...
Bonjour carpediem,
Si f'(a) = g'(b) = (g(b)-f(a)) / (b-a) alors la droite (AB) vérifie pas mal de choses :
Elle passe par A et a comme coefficient directeur f'(a) ; donc ...
Elle passe par B et a comme coefficient directeur f'(b) ; donc ...
Albanmaths2 avait posté ceci :
Je n'arrive à dire seulement que g(b)-f(a)* [b-a]= f'(a) et donc g'(b) d'après la première condition
Oui pardon c'est bien (g(b)-f(a)) / (b-a) que je voulais écrire et par l'égalité des produits je retombe bien sur la formule proposée.
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