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dérivée

Posté par
romu 17-01-08 à 09:01

Bonjour, j'ai un souci avec cet exo:

Citation :
Soit f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} une fonction continue. On définit g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} par:


g(x)=\{f(0)\mbox{ si } x=0\\ \frac{1}{x}\bigint_0^x f(t)dt \mbox{ si } x\neq 0

La fonction g est-elle continue sur [0,1]? Est-elle dérivable sur [0,1]?



J'ai montré que g est continue sur [0,1] et dérivable sur ]0,1].

Si f(0)\neq 0, je trouve que f n'est pas dérivable en 0,

reste le cas où f(0)=0 où je n'arrive pas à déterminer la dérivabilité de f en 0.

Merci pour vos indications.

Posté par
raymond Correcteurdérivée 17-01-08 à 10:03

Bonjour.

Sauf erreur, je pense avoir un contre exemple.

Soit f(x) = xa , a > 0

Alors, g(0) = 0 et, pour x non nul, g(x) = 3$\fra{1}{a+1} xa

En prenant par exemple a = 1/2, on a g non dérivable en 0.

Posté par
veledare : dérivée 17-01-08 à 11:19

bonjour
bonjour Raymond ,j'avais le même contre exemple

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : dérivée. 17-01-08 à 11:24

Bonjour raymond , veleda et romu ;

Il me semble que g est dérivable en 0 si et seulement si f est dérivable en 0 avec g^'(0)=\frac{1}{2}f^'(0) (sauf erreur bien entendu)

Posté par
raymond Correcteurre : dérivée. 17-01-08 à 11:32

Bonjour veleda et elhor.

Posté par
romure : dérivée 17-01-08 à 12:46

Bonjour tout le monde et merci pour vos réponses.

J'ai cependant un souci avec le résultat d'ehlor, je ne vois pas d'où ça vient et je voulais savoir si c'était pas en contradiction avec ce que j'avais trouvé:

"si f(0)\neq 0, g n'est pas dérivable en 0".

Merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : dérivée. 17-01-08 à 12:55

\fbox{\Longleftarrow} Supposons f dérivable en 0 alors pour x\in]0,1] on peut écrire \fbox{\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(0)}{x^2}=\frac{\int_{0}^{x}(f(t)-f(0))dt}{x^2}}
et comme \fbox{f(t)-f(0)=tf^'(0)+t\varphi(t)\\\varphi\;continue\;sur\;[0,1]\\\varphi(0)=0} (par continuité de f sur [0,1] et dérivabilité en 0^+) ce qui donne \fbox{\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{1}{2}f^'(0)+\frac{\int_{0}^{x}t\varphi(t)dt}{x^2}}

Posté par
romure : dérivée 17-01-08 à 13:20

ah d'accord merci elhor, mais le sens direct me paraît pas non plus évident.

Donc je pars de l'hypothèse que g est dérivable en 0, et je dois en déduire que f est dérivable en 0 et que g'(0)=\frac{f'(0)}{2}. Je ne vois pas vraiment comment reprendre ton raisonnement à l'envers.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : dérivée. 17-01-08 à 13:38

Ah ! autant pour moi il semble que la réciproque est fausse sans l'hypothèse supplémentaire de la continuité de g^' en 0 :

3$\fbox{f(x)=3x^2sin(\frac{1}{x})-xcos(\frac{1}{x})\;,\;x\in]0,1]\\f(0)=0} (sauf erreur)

Posté par
romure : dérivée 17-01-08 à 13:43

ah d'accord, je ne voyais vraiment pas, merci ehlor


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