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Dérivés d'une fonction

Posté par
Bakagou 16-12-18 à 11:55

Bonjour, je vous présente mon exercice qui est le suivant:

1. Soit f une fonction définie sur R+:
f (x) = 4x^2 - 27/x -30

Pour tout a et b dans R+, justifier que:
f(b) - f(a) = (b-a) (4ab^2 + 4a^2b-27)/ba

2. Justifier que si 3/2 inférieur ou égal à a qui est inférieur ou égal à b, alors f(b)-f(a) supérieur ou égal à 0. En déduire que f est croissante sur [3/2;+infini[.

3. Justifier que si 0 inférieur à a qui est inférieur ou égal à b qui est inférieur ou égal à 3/2, alors f(b)-f(a) inférieur ou égal à 0. En déduire que f est décroissante sur ]0;3/2].

4. Calculer f'(x) pour tout x appartenant à R+. Factoriser ce résultat afin d'étudier son signe sur R+

Pour l'instant, j'ai réussi à répondre à la question 1 mais je bloque sur les autres >< Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît?

Posté par
malou Webmasterre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 11:59

bonjour
ta fonction f est bien définie par

f(x)=4x^2-\dfrac{27}{x}-30

....en tout cas, c'est ce que tu as écrit....

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:00

Oui, c'est bien ça, merci de votre réponse

Posté par
alb12re : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:00

salut, relire la question 1/

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:01

Mais mon professeur de maths m'a dit qu'il y avait certainement une erreur quelque part dans l'énoncé, mais je ne sais pas où et ça rend la chose un peu plus compliqué
^^'

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:02

alb12 @ 16-12-2018 à 12:00

salut, relire la question 1/


C'est ce que je fais avec une amie depuis 1h

Posté par
malou Webmasterre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:03

bon, ben alors, ne t'occupe pas trop du résultat
fais ton calcul comme si on ne te donnait pas le résultat

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:03

J'ai donc remplacé f(b) - f(a) mais je n'y arrive plus à partir de là

Posté par
alb12re : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:04

c'est bien -27 ?

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:04

malou @ 16-12-2018 à 12:03

bon, ben alors, ne t'occupe pas trop du résultat
fais ton calcul comme si on ne te donnait pas le résultat


merci

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:05

alb12 @ 16-12-2018 à 12:04

c'est bien -27 ?


Il s'agit de la même fonction que le premier message de malou

Posté par
carpediemre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:06

salut

si 3/2 =< a =< b alors que peux-tu dire du signe de b - a et ab ?

il te reste alors le signe du dernier facteur à déterminer

remarquer alors que 4ab^2 - 4a^2b - 27 =4(b - a)ab - 27

Posté par
malou Webmasterre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:07

Bakagou @ 16-12-2018 à 12:05

alb12 @ 16-12-2018 à 12:04

c'est bien -27 ?


Il s'agit de la même fonction que le premier message de malou


oui, mais dans f(b)-f(a) il y a une erreur dans le résultat à démontrer
si tu sais calculer, tu vas la trouver facilement

Posté par Profil EFIDBre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:08

Hello,

J'ai un doute :

Donc tu as l'encadrement suivant : \frac{3}{2} \le a \le b

Tu obtiens déjà que a-b \le 0 et que ab \ge 0

Par ailleurs, 4ab^2+4a^2b-27 = 4ab(b+a)-27

Pour bien faire, il faudrait montrer que cette dernière expression est négative, ce qui n'est pas le cas, ou pas toujours, dans l'intervalle considéré.

Posté par
carpediemre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:10

ha damned j'ai fait une erreur !!!

mais si c'est 4a^2b + 4ab^2 - 27 alors 3/2 =< a =< b suffit pour assurer la positivité

Posté par
malou Webmasterre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:10

un peu trop de monde....les messages vont se croiser dans tous les sens...
à + .....

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:11

carpediem @ 16-12-2018 à 12:06

salut

si 3/2 =< a =< b alors que peux-tu dire du signe de b - a et ab ?

il te reste alors le signe du dernier facteur à déterminer

remarquer alors que 4ab^2 - 4a^2b - 27 =4(b - a)ab - 27


Merci beaucoup de votre réponse

Du coup, si j'ai bien compris,  b-a est positif, ainsi que ab, et il faut que j'étudie le signe de 4ab^2 + 4a^2b - 27?

Pour le dernier point, je ne sais pas encore, je vais commencer par étudier le signe du numérateur, merci de votre aide

Posté par
malou Webmasterre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:11

malou @ 16-12-2018 à 12:07

.......

oui, mais dans f(b)-f(a) il y a une erreur dans le résultat à démontrer
si tu sais calculer, tu vas la trouver facilement

Posté par
alb12re : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:12

RELIRE L'ENONCE

Posté par
malou Webmasterre : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:13

basta....plus intéressant de s'accrocher à une réponse qui semble donner la solution ...

Posté par
Bakagoure : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 12:14

malou @ 16-12-2018 à 12:11

malou @ 16-12-2018 à 12:07

.......

oui, mais dans f(b)-f(a) il y a une erreur dans le résultat à démontrer
si tu sais calculer, tu vas la trouver facilement


Ok, je vais essayer de la trouver dans ce cas >< merci

Posté par
alb12re : Dérivés d'une fonction 16-12-18 à 13:06

f(x)=4x^2+27/x-30 non ?

Posté par Profil EFIDBre : Dérivés d'une fonction 17-12-18 à 17:08

Pour fixer les choses, et après calculs, j'obtiens que :

f(a)-f(b)=\frac{(b-a)(4ab(a+b)+27)}{ab}\ge 0

Posté par
alb12re : Dérivés d'une fonction 17-12-18 à 17:16

on ne sait tjs pas ce que vaut f(x) !

Posté par
alb12re : Dérivés d'une fonction 17-12-18 à 17:20

les questions ne sont coherentes que si f(x)=4x^2+27/x-30

Posté par Profil EFIDBre : Dérivés d'une fonction 17-12-18 à 17:22

J'ai fait les calculs avec en considérant f(x)=4x^2-\frac{27}{x}-30

Pour l'encadrement de a et b donné, il vient f(a)-f(b) \ge 0.

Je parie mes deux semaines de vacances ^^

Posté par
alb12re : Dérivés d'une fonction 17-12-18 à 17:26

\\ \left(\begin{array}{ccccccccc} \\ x & -\infty  &   & 0 & 0 &   & \frac{3}{2} &   & +\infty  \\ \\ y'=(\frac{(2\cdot x-3) (4\cdot x^{2}+6\cdot x+9)}{x^{2}}) & -\infty  & - & \mathrm{||} & \mathrm{||} & - & 0 & + & +\infty  \\ \\ y=(4\cdot x^{2}+\frac{27}{x}-30) & +\infty  & \searrow  & -\infty  & +\infty  & \searrow  & -3 & \nearrow  & +\infty \\ \end{array}\right) \\

\\ \left(\begin{array}{ccccccccc} \\ x & -\infty  &   & \frac{-3}{2} &   & 0 & 0 &   & +\infty  \\ \\ y'=(\frac{(2\cdot x+3) (4\cdot x^{2}-6\cdot x+9)}{x^{2}}) & -\infty  & - & 0 & + & \mathrm{||} & \mathrm{||} & + & +\infty  \\ \\ y=(4\cdot x^{2}-\frac{27}{x}-30) & +\infty  & \searrow  & -3 & \nearrow  & +\infty  & -\infty  & \nearrow  & +\infty \\ \end{array}\right) \\

Que peut-on en conclure ?


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