Des carrés premiers ?

 Niveau énigmesPartager :
			        
Des carrés premiers ?
Posté par 
dpi  25-11-18 à 09:23
Bonjour à tous,

Si on prend un nombre premier et qu'on l'élève au  carré on est sûr de ne pas retomber sur un carré   On doit donc ajouter un nombre pair K (excepté pour 2) pour essayer de

tomber sur un autre premier.

Question 1: pour les premiers < 1000 quel  est le  K  100 champion  créant

le plus de premiers ?

Question  2: quel est le plus grand écart entre deux de ces nombres pairs  K successifs?
 Posté par 
Sylvieg re : Des carrés premiers ?  25-11-18 à 10:01
Bonjour dpi,

Merci d'animer une fois de plus  

Mais j'ai cru voir une coquille dans  " on l'élève au  carré on est sûr de ne pas retomber sur un carré " .
 Posté par 
dpire : Des carrés premiers ?  25-11-18 à 10:12
Merci Sylvieg,

Il faut bien sûr lire sur un premier et non sur un   carré
 Posté par 
Zormuchere : Des carrés premiers ?  25-11-18 à 22:30
Bonjour

 Cliquez pour afficher

Pour la question 1, il semblerait que K=58 donne un entier dans 92 cas

Une pensée à K=26, 56, 68 et 86 qui ne créent jamais de premier...

Petit graphique pour accompagner :

 Posté par 
Zormuchere : Des carrés premiers ?  25-11-18 à 22:32
 Cliquez pour afficher

D'ailleurs, j'en profite pour remarquer que, pour le moment, tous les K donnant 0 ou 1 premier sont de la forme 6k+2, et tous les K de la forme 6k+2 donnent 1 ou 2 entiers...

 Posté par 
Zormuchere : Des carrés premiers ?  26-11-18 à 02:29
 Cliquez pour afficher

Quant à la question 2, je dirais que c'est pour pour 727, on trouve un écart de 52 entre K=30 et K=82

C'est peut-être faux, je n'ai pas tout vérifié mais 52 me semblait être un bon candidat

 Posté par 
dpire : Des carrés premiers ?  26-11-18 à 07:57
Bonjour,

Merci Zormuche d'avoir été le premier à répondre.

 Cliquez pour afficher
58 est effectivement le plus grand générateur 

J'ai trouvé cet exercice intéressant en remarquant  que certains K ne donnaient

aucun premier (exemple 26) ,que certains n'en donnaient qu'un (exemple  8 ) et qui plus est que deux K consécutifs  pouvaient donner des écarts de plusieurs dizaines (objet de la question 2).
 Posté par 
Sylvieg re : Des carrés premiers ?  26-11-18 à 08:45
Bonjour,

Ma modeste contribution pour ceci :

Les  K  de la forme  6k+2 donnent au plus deux premiers.

 Cliquez pour afficher
Si  p  est premier et supérieur strict à  3 , alors   p    1 ou -1   [6] .     

Donc     p2     1   [6]    .     D'où   p2 + K    3   [6] .   

p2 + K  n'est pas premier  car   p2 + K  > 3 .

Seuls  4+K  ou  9+K  peuvent être premiers.

 Posté par 
Sylvieg re : Des carrés premiers ?  26-11-18 à 08:49
En fait, j'ai l'impression que c'est au plus un premier :
 Cliquez pour afficher
4+K = 6k+6  pas très premier  
 Posté par 
dpire : Des carrés premiers ?  26-11-18 à 12:36
Comme  Il n'y a pas trop d'amateurs je donne la réponse en blank pour ceux qui veulent poursuivre.

 Cliquez pour afficher
Pour p<1000 et K<100

K=58 donne 92 premiers alors que K=56 n'en donne aucun (Q1 et 2)

A noter que si on va jusqu'à K=1000  K=760 donne 108 premiers alors que 758 n'en

donne aucun

 Posté par 
dpire : Des carrés premiers ?  27-11-18 à 09:07
Compte tenu du nombre relativement faible de premiers ,je trouve assez remarquable   la constante K =760 .

En effet sur les 168 p<1000  on arrive à 108  p²+K  premiers soit 64.28 %

Dans le cadre de l'énoncé  :

K=58 la proportion est  58.22%
  Posté par 
LittleFoxre : Des carrés premiers ?  27-11-18 à 11:54

Si on regarde les k tels que pour les plus petits premiers p excepté 2 (3,5,7,11,13,17,19,...) p²+k est premier, les plus longues séries sont donnés par :

k        longueur
2        1
4        3
58       8
652      10
3925252  12
...