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Des suites et des fonctions

Posté par vince77 (invité) 06-05-05 à 10:20

Voila je bloque sur ce DM et  je comprend pas trop trop merci pour l'aide  que  vous pourer m'aporter alors voila le sujet

u et v sont les deux suites définies â partir du rang n=1 par

Un= sin(1/n²) + sin(2/n²) +....+ sin(n/n²)

Vn= (1/n²) + (2/n²) +.....+ sin(n/n²)


A) Montrer  que pour tout n superieure  ou egal a 1 Vn=(n+1)/(2n)

B)f, g, h sont les fonctions definies sur [0;+l'infini[ par

F(x) = x - sin x         G(x)= -1 + (x²/2) + cos x

                h(x)= -x + (x^3/6) + sin x

Etudier  le sens de varition et le signe de chaque fonction

C)Demontrer que pour tout  n superieure ou egal a  1 on a  Un inferieure ou egal a Vn

D)On admet que pour tout n superieure ou egal a  1
1^3 + 2^3 + ... + n^3 inferieure ou egal a n^4

Demontrer quepour tt n superieure ou egal a  1
Vn-(1/6)*(1/n²) inferieure ou egale a Un

AIde: on poura utiliser le signe de la fonction h

E) Indiquer un rang r a partir duquel:
      
               Vn-Un inferieure ou egal a 10^-4


Merci pour laide  que lon maportera et bonne fin de vacance a ceux  qui y son encor @+

Posté par Yalcin (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 10:37

y'a eu le même type d'exerccie sur c esite , milles fois au moins, et y'a aussi ce que j'ia fait pour toi http://img121.exs.cx/img121/6715/suite27ei.png

Posté par vince77 (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 10:47

Merci de ton aide  mai pour  la C D et E  je comprend pas torp en faite

Posté par dolphie (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 11:55

salut,

C)
* montrer que u_n \le v_n revient à montrer que u_n -v_n \le 0
exprime alors u_n -v_n (grâce à leurs définitions de l'énoncé) et utilise ta fonction F....

Posté par vince77 (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 12:15

merci bcp pour la C  jai reussi merciii

Posté par dolphie (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 12:50

Pour D) il faut procéder de ^la même façon en étudiant la différence Un -Vn puis utiliser h>0

Posté par vince77 (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 12:51

par contre  la D et la E  je bloke trop

Posté par dolphie (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 13:32

Je vais t'aider pour la D.

sachant que H>0, on peut écrire:
(sin(\frac{1}{n^2})-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{6n^6})+(sin(\frac{1}{n^2})-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{6n^6})+(sin(\frac{1}{n^2})-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{6n^6})+...

***Edit Nightmare***

Posté par dolphie (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 13:33

désolée je viens d'etre apl au boulot.

je reprends ce soir si tu veux....mais tard je pense.

Posté par vince77 (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 15:28

je te remerci  bcp pour tt sa me derange pas je serai la car je sui pas pres de dormir jai un probleme avec la deriver  de H(x) pour trouver son signe et de meme occasion son sens de varition

Merci pour tt

Posté par
H_aldnoerre : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 15:38

slt


3$h(x)=-x+(\frac{x^3}{6})+\sin(x) ???

3$\rm utilise :

3$(ax)^'=a

3$(x^n)^'=n.x^{n-1}

3$(\sin(x))^'=\cos(x)


@+ sur l' _ald_

Posté par dolphie (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 22:10

resalut...je suis de retour.

Pour les variations de H, H_aldnoer t'a bien guidé; ensuite pour le signe...tu devrias trouver H'(x)=G(x) et tu as déterminé le signe de G>0....

Donc H croissante et positive.

pour D)
il faut écrire:
H(\frac{1}{n^2})+H(\frac{2}{n^2})+H(\frac{3}{n^2})+...+H(\frac{n}{n^2}) > 0 (d'après l'étude de H car pour tout n: k/n² > 0.
ensuite.
tu développes:
(sin(\frac{1}{n^2})-frac{1}{n^2}+\frac{1}{6n^6})+(sin(\frac{2}{n^2})-frac{2}{n^2}+\frac{2^3}{6n^6})+...+(sin(\frac{n}{n^2})-frac{n}{n^2}+\frac{n^3}{6n^6})=U_n-V_n+\frac{1}{6n^6}\times [1^3+2^3+3^3+...+n^3] > 0
puis on applique l'inégalité qui nous ait donné juste avant:
1^3+2^3+3^3+...+n^3 \le n^4
on en déduit:U_n-V_n-\frac{1}{6n^6}\times n^4 \ge U_n-V_n+\frac{1}{6n^6}\times [1^3+2^3+3^3+...+n^3] \ge 0
soit encore:
U_n-V_n-\frac{1}{6n^2} \ge 0

d'ou la conclusion...

Posté par dolphie (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 22:13

E) d'après les questions précédentes on en déduit:
V_n-U_n \le \frac{1}{6n^2}
on veut donc  \frac{1}{6n^2} \ 10^{-4}
soit 6n^2 \ge 10^4
et je te laisse terminer...

Posté par vince77 (invité)re : Des suites et des fonctions 06-05-05 à 23:19

a ouai je voi  merci bcp  et  pour le sens de variation pour H quand  je tape ma fonction sur la calculatrive  en faite elle est decroissante pui croissante   c pour sa que je comprend pas trop

merci pour tt le reste

Posté par dolphie (invité)re : Des suites et des fonctions 07-05-05 à 14:45

es-tu sur le bon intervalle?

Posté par vince77 (invité)re : Des suites et des fonctions 07-05-05 à 18:52

oui je suis sur le bon intervalle et sur ma calculettes je trouve deux sens de variation sur 0 +linfini


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