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On cherche une fonction polynôme de degré 4 :    f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

La condition f(x) = 0  donne  e = 0, donc :
f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f"(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f(1) = 1    ---->    a + b + c + d = 1
f'(1) = 0    ---->    4a + 3b + 2c + d = 0

En soustrayant membre à membre ces deux équations, on obtient :
c = - 3a - 2b - 1

Et en remplaçant c par cette expression dans la première équation, on obtient :
d = 2a + b + 2

On a donc :
f(x) = ax⁴ + bx³ - (3a + 2b + 1)x² + (2a + b + 2)x
f'(x) = 4ax³ + 3bx² - 2(3a + 2b + 1)x + 2a + b + 2
f"(x) = 12ax² + 6bx - 2(3a + 2b + 1)

La pente de la tangente en A est données par f'(0) = 2a + b + 2.
La courbe doit être concave sur ]0 ; 1[, donc la dérivée doit être décroissante sur cet intervalle, ce qui veut dire que la dérivée seconde doit être négative sur ]0 ; 1[.

0 < x < 1
0 < x² < 1
0 < 12ax² < 12a

0 < x < 1
0 < 6bx < 6b

0 < 12ax² + 6bx < 12a + 6b
0 < 12ax² + 6bx - 2(3a + 2b + 1) < 12a + 6b - 2(3a + 2b + 1)
0 < f"(x) < 6a + 2b - 2

Donc :  f"(x) < 0 pour tout x ]0 ; 1[   si   6a + 2b - 2 0   soit   b 1 - 3a.

b 1 - 3a   (condition pour que la courbe soit convave sur ]0 ; 1[)
2a + b + 2 1 - 3a + 2a + 2
f'(0) 3 - a

La pente maximale de la tangente à la courbe au point A(0 ; 0) est donc égale à   3 - a   lorsque   b = 1 - 3a.