salut

a = b = n convient évidemment

ensuite a = 2 et b = 4 est la seule autre solution

soit f la fonction définie par



sinon écrivons avec (p, q) = 1

alors


donc p divise b ... écrivons avec (p, m) = 1

alors

donc


ouais ... bof ...

Merci.Ça me parait pas si évident que ça ...
J'avais penser a utiliser la fonction ln ou exp mais dans l'exercice il est dit de repondre sans sortir de l'arithmetique elementaire.
J'avais commencer transformer l'égalité comme ça sans tout a fait savoir ou j'allai et puis surtout j'ai des doutes sur mes changements d'exposants :
aa^(b-1)=bb^(a-1)

a^(b-1)/b = b^(a-1)/a

a^(b-1)/b = a^-1/b^(-a+1)

je ne crois pas que ça apporte grand chose ...

Ah... j'avais continuer et je me demandai si je pouvai le montrer comme ça :

aa^(b-1)=bb^(a-1)

a^(b-1)/b^(a-1) = b/a

(a/b)^b-a = b/a

a^(b-a)/b^(b-a) = a^-1/b^-1

a^(b-a)/a^-1 = b^(b-a)/b^-1

a^(b-a+1) = b^(b-a+1)

Donc b-a=0 ou -1 ?

J ai fait une grosse erreur de calcul je viens de m en rendre compte

Bonjour,

Dans un premier temps on peut supposer que 1 < a < b .
On pose a = d x et b = d y où d est le pgcd de a et b. Ainsi pgcd ( x , y ) = 1 .
a ^ b = b ^ a va permettre d'obtenir que d = a donc a divise b.

Dans un second temps, on pose b = k a ( k > 1 ).
a ^ b = b ^ a va permettre d'obtenir a ^ ( k - 1 ) = k.
Si a > 2 alors l'inégalité de Bernoulli permet de voir que a ^ ( k - 1 ) > k.
Il reste alors à étudier 2 ^ ( k - 1 ) = k.
Si k > 2 alors l'inégalité de Bernoulli permet de voir que 2 ^ ( k - 1 ) > k.
Il reste alors à étudier k = 2 qui fournit la seule solution : a = 2 et b = 4 .

Inégalité de Bernoulli :
t est un réel strictement positif , n est un entier supérieur ou égal à 2 .
( 1 + t ) ^ n > 1 + n t
On peut l'obtenir par récurrence ou utiliser la formule du binôme de Newton.

Bon courage !

Moi j'aurais continuer avec l'idée de carpediem qui est beaucoup plus simple. si f(x) = ln x / x alors

or si on étudie la fonction , on trouve un maximum pour x = e

on voit que si on veut deux intersections avec des abscisses entières entre cette courbe et une droite horizontale, le seul candidat possible c'est x=2

Bonsoir Glapion,

Il est clair que c'est plus facile d'utiliser la fonction x ln x  / x.

J'ai donné une piste " arithmétique " au moins au début vu le message de bulotmath du 21/09 à 17h05.

ha oui, j'avais pas vu.

Bonjour


Merci pour votre aide, mais j'ai encore du mal

@carpediem

Peux tu me dire ce que veut dire (p, q) = 1  ?
Je comprends que (p, q) signifie le couple p,q mais le =1 ...

Comment arrives tu de a^b = b^a <=> p^{kp^nm}q^b = p^{np^kq}m^a
a kp^n = np^k

Je n'arrive pas a simplifier.

Je pense avoir compris pour (p, q) = 1
1 est le plus pgcd pour p et q.
Par contre je ne vois toujours pas comment simplifier

a^b = b^a <=> p^{kp^nm}q^b = p^{np^kq}m^a

pour arriver a

kp^n = np^k

Bonjour,



Donc en paramétrant:


Cela conduit à :




alain

les exposants de p doivent être les mêmes

on regarde le facteur p de ces exposants

or (m, p) = (q, p) = 1 d'où l'égalité

où k et n peuvent être multiples de p

supposons k < n

alors avec (x, p) = 1 et avec (z, p) = 1

et

ce qui implique que n + y = k + t et donc que x = z

en remontant on en déduit que

donc


"on montre" que k = 1 et on en déduit que a^p = pa soit a = p = 2

...

Bon après-midi,

La solution 'habituelle',graphique de la fonction f(x)=ln(x)/x ,
seules deux valeurs d' abcisses différentes ont le même ordonnée.


Dans les formules paramétriques que je propose:

sont simultanément entiers pour t = 2 ,



Alain