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Deux Cercles Sécants: Points d'intersections
Bonjour.
J'ai un exercice a faire que je n'ai pas très bien compris et je demande donc votre aide.
Exercice: Dans un repère orthonormé, C1 est le cercle de rayon 1 et de centre 01(1:0) et C2 est le cercle de rayon 2 et de centre O2(2;2)
_En déduire que les cercles sont sécants et justifiez pourquoi il existe deux points d'intersection qu'on nommera A1 et A2.
_Justifiez que pour calculer les coordonnées des points d'intersections des deux cercles il faut résoudre le système x²+y²=2x
X²+y²-4x-4y+4=0
_Résoudre le système et concluez en donnant les coordonnées des points d'intersections
_Demontrez que la droite (A1A2) et la droite (O1O2) sont perpendiculaires
J'ai dis que les cercles sont sécants en montrant que la distance des deux centres est plus petites que la sommes des rayons des deux cercles cependant pour les points d'intersections je ne sais pas comment justifier.
Pour le système j'ai du mal a justifier puisque je me débrouille mal avec les équations de cercles.
J'ai commencer le système mais je bloque a une étape je ne sais pas si je l'ai mal fais ou autre chose, je vous montre ce que j'ai fais
2x-4x-4y+4=0
<=>-2x-4y+4=0
<=>-4y=-4+2x
<=>4y=4-2x
<=>y=1-1/2x
x²+(1-1/2x)²=2x
<=>x²+(1-x+1/4x)=2x
<=>x²+1-x+1/4x=2x
<=>x²-x+1/4x-2x=-1
<=>x²-13/4x=-1
Après je bloque
Pour montrer que les deux droites sont perpendiculaires je ne vois pas quelle démarche il faut faire.
Merci et bonne fin de soirée
Bonjour.
J'ai un exercice a faire que je n'ai pas très bien compris et je demande donc votre aide.
Exercice: Dans un repère orthonormé, C1 est le cercle de rayon 1 et de centre 01(1:0) et C2 est le cercle de rayon 2 et de centre O2(2;2)
_En déduire que les cercles sont sécants et justifiez pourquoi il existe deux points d'intersection qu'on nommera A1 et A2.
_Justifiez que pour calculer les coordonnées des points d'intersections des deux cercles il faut résoudre le système x²+y²=2x
X²+y²-4x-4y+4=0
_Résoudre le système et concluez en donnant les coordonnées des points d'intersections
_Demontrez que la droite (A1A2) et la droite (O1O2) sont perpendiculaires
J'ai dis que les cercles sont sécants en montrant que la distance des deux centres est plus petites que la sommes des rayons des deux cercles cependant pour les points d'intersections je ne sais pas comment justifier.
Pour le système j'ai du mal a justifier puisque je me débrouille mal avec les équations de cercles.
J'ai commencer le système mais je bloque a une étape je ne sais pas si je l'ai mal fais ou autre chose, je vous montre ce que j'ai fais
2x-4x-4y+4=0
<=>-2x-4y+4=0
<=>-4y=-4+2x
<=>4y=4-2x
<=>y=1-1/2x
x²+(1-1/2x)²=2x
<=>x²+(1-x+1/4x)=2x
<=>x²+1-x+1/4x=2x
<=>x²-x+1/4x-2x=-1
<=>x²-13/4x=-1
Après je bloque
Pour montrer que les deux droites sont perpendiculaires je ne vois pas quelle démarche il faut faire.
Merci et bonne fin de soirée
*** message déplacé ***
Désoler pour le double poste j'ai double cliquer sans le faire exprès et je ne peux malheuresement pas supprimer le second poste
Bonjour,
J'ai dis que les cercles sont sécants en montrant que la distance des deux centres est plus petites que la sommes des rayons des deux cercles cependant pour les points d'intersections je ne sais pas comment justifier.
Quand on a montré que la distance des deux centres est strictement plus petite ( donc pas égale) que la sommes des rayons des deux cercles, on peut affirmer qu'ils ont 2 points d'intersection.
Je regarde la suite.
Je suppose que tu as justifié que l'on arrivait au système :
{x²+y²=2x
{x²+y²-4x-4y+4=0
ou encore :
{x²+y²=2x
{-x²-y²+4x+4y-4=0
On a additionne membre à membre donc les x² et y² partent :
4x+4y-4=2x
2x=-4y+4
x=2-2y
Tu reportes dans la 1ère équa :
(2-2y)²+y²=2(2-2y)
Tu arranges , tu résous .
On doit trouver :
y=0 ou y=4/5 que tu reportes dans x=2-2y
Demontrez que la droite (A1A2) et la droite (O1O2) sont perpendiculaires
O1A1=O1A2 ( rayons de C1 )
donc O1 est sur la médiatrice de [A1A2]
Tu montres de même que O2 est sur la médiatrice de [A1A2].
Conclusion ?
Il s'agit d' un double-post suite à fausse manip a dit l'élève. Donc on trouve une réponse par ailleurs.
*** message déplacé ***
Je suppose que tu as justifié que l'on arrivait au système :
{x²+y²=2x
{x²+y²-4x-4y+4=0
ou encore :
{x²+y²=2x
{-x²-y²+4x+4y-4=0
Non justement je ne sais pas comment l'on fait pour en arriver la je sais qu'il faut que l'on utilise l'equation de droite mais après je ne vois pas par quoi il faut remplacer
J'avais aussi oublier de rajouter qu'il nous avait donner une méthode pour résoudre le système
"En remplaçant x²+y²=2x dans la deuxieme ligne du systeme en déduire une expression de y en fonction de x puis terminez de résoudre le système en remplaçant y par sa nouvelle expression dans la premiere ligne
]O1A1=O1A2 ( rayons de C1 )
donc O1 est sur la médiatrice de [A1A2]
Tu montres de même que O2 est sur la médiatrice de [A1A2].
Conclusion ?
Sa j'ai compris merci.
Conclusion elle sont perpendiculaires
L'équation d'un cercle de centre (a;b) et de rayon R est :
(x-a)²+(y-b)²=R²
C1 est le cercle de rayon 1 et de centre 01(1:0)
(x-1)²+(y-0)²=1²
On développe , on arrange et on trouve :
x²+y²=2x
C2 est le cercle de rayon 2 et de centre O2(2;2)
(x-2)²+(y-2)²=2²
On développe , on arrange et on trouve :
x²+y²-4x-4y+4=0
J'envoie ça et je résous les ystème avec la méthode donnée.
Ah oui je comprend maintenant, j'ai utiliser l'équation cartésienne moi : x²+y²+a+b+c=0
C'est pour sa que je ne m'y retrouvais pas
Soit à résoudre :
{x²+y²=2x------->(1)
{x²+y²-4x-4y+4=0-->(2)
On remplace x²+y² par 2x dans la (2) :
2x-4x-4y+4=0
-2x-4y+4=0
4y=4-2x
y=1-(1/2)x
que l'on reporte en (1) :
x²+[1-(1/2)x]²-2x=0
x²+1-x+(1/4)x²-2x=0
(5/4)x²-3x+1=0
=(-3)²-4*(5/4)*=4
=2
x1=(3-2)/(5/2)=2/5
x2=(3+2)/(5/2)=2
Tu reportes ces valeurs dans y=1-(1/2)x et tu vas retrouver mes valeurs données pour y.
Je préfère ma méthode : je n'avais pas de fraction !!
Non seulement, je n'avais pas de fraction ( c'est pourquoi j'avais choisi de garder le y et non le x) mais j'arrivais à :
5y²-4y=0
y(5y-4)=0
donc :
y=0 ou y=4/5
Pas de "delta" à calculer !!
-2x-4y+4=0
-4y+4=2x
-2y+x=x
(-xy+2)²+y²=2(-2y+2)
4y²-8y+4+y²=-4y+4
5y²-4y=0
=(-4)²-(4x5x0)=16
x1=(4-4)/(2*5)=0
x2=(4+4)/(2*5)=4/5
Il y a une faute de frappe :
-2x-4y+4=0
-4y+4=2x
-2y+2=x
soit x=2-2y
que l'on reporte dans : x²+y²=2x
(2-2y)²+y²=2(2-2y)
4y²-8y+4+y²=-4y+4
5y²-4y=0--->Là , on met "y" en facteur !! Pas besoin de "delta" !
y(5y-4)=0
y=0 ou 5y-4=0
y=0 ou y=4/5
En plus tu as mis "x" au lieu de "y" !!
sur ma copie j'avais bon merci de l'aideEncore une derniere question : Donnez une propriété liant la tangente au cercle C1 passant par le point A1 et la droite (O1A1) Determinez une équation cartésienne de cette tangente. Je ne vois pas très bien ce qu'est la propriété et comment faire l'équation cartésienne de la tangente puisque l'on a pas ces coordonnées
La tgte en A1 est perpendiculaire au rayon (O1A1) : c'est la définition de la tgte.
Mais je ne sais pas lequel des 2 points on appelle A1 !!
Je vais choisir A1(2/5;4/5) car la tgte en l'autre point a pour équa :x=2
Vecteur O1A1(2/5-1;4/5-0) soit (-3/5;4/5)
Soit M(x;y) un point quelconque de la tgte :
MA1(2/5-x;4/5-y)
Les vect. O1A1 et MA1 sont ppd.
Si u(x;y) et v(x';y') sont ppd , alors xx'+yy'=0.
Ce qui donne ici :
(-3/5)(2/5-x)+(4/5)(4/5-y)=0
Tu arranges et tu as ton équa de la tgte. On trouve un dénominateur qui est 25 que tu vas faire disparaître. Sauf erreur, on arrive à :
9x-12y+1O=0
J'ai fait mes calculs hier soir sur un bout de papier en regardant la télé , ce qui n'est pas l'idéal ! Et ce matin, assis à un bureau, j'ai un autre résultat.
Mais d'abord, il faut savoir si tu es d'accord avec :
Si u(x;y) et v(x';y') sont ppd , alors xx'+yy'=0.
Ce qui donne ici :
(-3/5)(2/5-x)+(4/5)(4/5-y)=0
Si oui, on peut développer de nouveau chacun de notre côté. Sinon, tu me dis de quelle expression tu pars ( sauf si le DM était pour ce matin).
Si on part de la même expression à développer, je trouve après réduction au déno 25 et simplification :
3x-4y+2=0
Moi, j'ai considéré la tgte au point (2/5;4/5). Il faut savoir aussi si tu es d'accord avec ces coordonnées.
En tout cas , ta droite 9x-4y+6=0 ne passe pas par le point (2/5;4/5).
Car : 9*(2/5)-4*(4/5)+6=32/5
La mienne passe bien par ce point car : 3*(2/5)-4*(4/5)+2=0
Ma tgte : 3x-4y+2=0 coupe l'axe des y en (0;1/2) et l'axe des x en (-2/3;0), ce qui correspond assez bien à ma figure, faite avec plus ou moins de précision !!
Tu as vérifié tout ça sur ta figure avec ton équation de tgte?
Oui c'est bon j'ai trouver la même chose j'avais multiplier par 3 l'équation d'ou le +6
Et j'ai vérifier tout concorde
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