Salut à tous,j'ai deux exercices à faire concernant les limites de suite mais pour un devoir maison (pas noté et heuresement d'ailleurs).Il s'avère que je n'arrive vraiment pas à faire ces deux exercices alors je viens demandé de l'aide.Le devoir est à rendre pour lundi.Merci beaucoup !


Exercice 1

Une étude réalisée par des biologistes prend en compte les taux de natalité et de mortalité d'une population animale.Schématiquement,l'année est divisée en deux saisons : une saison de reproduction et une saison "froide".
Au début de la première saison de reproduction,la population est constituée d'adultes en nombre a₁.
A la fin de la saison de reproduction,la population est constituée d'adultes et de jeunes;dans le modèle élaboré par les biologistes,le nombre d'adultes est A₁=0,8a₁ et le nombre de jeunes J₁=2a₁. Pendant la saison froide,40% des jeunes survivent et deviennent des adultes,50% des adultes survivent à cette période.

1)La population au début de l'année suivante est constituée d'adultes en nombre a₂.
Exprimer a₂ en fonction de A₁ et J₁ puis en fonction de a1.
Le cycle annuel recommence avec les même taux de survie.On note a_n,A_n,J_n les effectifs de la n^e année tels qu'ils ont été définis.
2)a)Exprimer A_n et J_n en fonction de a_n.
b)Exprimer a_n+1 en fonction de A_n et J_n.
3)Démontrer que la suite (a_n)_n1 est géométrique.
4)Quelle est la nature des suites (A_n)_n1 et (J_n)_n1 ?
5)On pose pour n1,t=A+J.
a)Que représente t pour cette population ?
b)La suite (t_n)_n1 est-elle géométrique?
6)Etudier la convergence de la suite (a_n)_n1.
Quelle est l'évolution prévisible de cette population ?



Exercice 2

a)f est la fonction définie sur [0;+00[ par : f(x)=x-sin x.
Etudier les variations de f.En déduire le signe de f(x) pour tout x de [0;+00[.
b)g est la fonction définie sur [0;+00[ par : g(x)=cos x+(x²/2)-1.Etudier les variations de g.
c)En déduire que pour tout x0, 1-(x²/2)cos x1.
d)Etudier la convergence de la suite u définie sur N* par u_n=cos(1/n).
e)Démontrer que la suite v définie sur N* par v_n=n(1-cos(1/n)) converge vers 0.


Voila,je vous remercie