Suite du post développement limité
où jsvdb pose la question :
Peut-on supposer simplement dérivable et admettant un développement limité ?
................................
@ jsvdb :
Tu penses trop à Lebesgue ! Et il me semble que je tiens une preuve sans continuité de .
Soit dérivable sur et admettant un développement limité d'ordre en .
On aurait donc l'existence d'une fonction nulle et continue en telle que (je balaye ton exemple où n'est pas continue en : bref je pose et j'ai bien l'égalité pour ).
En particulier, pour il existe tel que .
Soit : est dérivable et .
Au lieu de faire l'intégrale de (impossible puisque je ne sais pas si est continue ou même primitivable) j'utilise la formule des accroissements finis :
et il vient
.
En fait on peut aller encore plus loin :
Soit admettant un développement limité d'ordre en et admettant une primitive sur ou ou .
Alors admet un développement limité d'ordre obtenu par "intégration terme à terme".
On se ramène au cas précédent en remarquant que a une limite finie en ce qui suffit pour dire que peut se prolonger en et le prolongement dérivable en avec .
Le reste comme précédemment (en restant sur l'intervalle convenable si nécessaire).
Plus simple que les manipulations de :
On a d'où, par inégalité des accroissements finis :
:
Utiliser une primitive sur ce qui n'est pas un intervalle ne pouvait conduire qu'à des dégâts.
Il est vrai que aura une limite finie en 0 à droite ET à gauche mais impossible d'aller plus loin : penser à .
Par conséquent, développé limité sur les voisinages à droite et/ou à gauche et c'est TOUT sans autre hypothèse.
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