Niveau exercices

Développement limité d'une primitive

Posté par
luzak 31-01-19 à 16:49

Suite du post développement limité
où jsvdb pose la question :
Peut-on supposer simplement $f$ dérivable et $f'$ admettant un développement limité ?
................................
@ jsvdb :
Tu penses trop à Lebesgue ! Et il me semble que je tiens une preuve sans continuité de $f'$ .

Soit $f$ dérivable sur $[-a,a]$ et $f'$ admettant un développement limité d'ordre $n$ en $0$ .
On aurait donc l'existence d'une fonction $u$ nulle et continue en $0$ telle que $f'(x)=P(x)+x^nu(x)$ (je balaye ton exemple où $\varepsilon$ n'est pas continue en $0$ : bref je pose $x\neq0\implies u(x)=\varepsilon(x),\;u(0)=0$ et j'ai bien l'égalité pour $f'$ ).
En particulier, pour $\theta>0$ il existe $b>0$ tel que $|x|<b\implies|u(x)|<\theta$ .

Soit $v(x)=f(x)-f(0)-\int_0^xP$ : $v$ est dérivable et $v'(x)=x^nu(x)$ .
Au lieu de faire l'intégrale de $v'$ (impossible puisque je ne sais pas si $u$ est continue ou même primitivable) j'utilise la formule des accroissements finis :
$\exists c\in]-|x|,|x|[,\;v(x)=v(x)-v(0)=xv'(c)=xc^n(u(c))$ et il vient
$|x|<b\implies\Bigl|\dfrac{v(x)}{x^{n+1}}\Bigr|=\Bigl|\dfrac{c}x}\Bigr|^n|u(c)|<\theta$ .

Posté par re : Développement limité d'une primitive 31-01-19 à 17:11

En fait on peut aller encore plus loin :

Soit $g$ admettant un développement limité d'ordre $n$ en $0$ et admettant une primitive $G$ sur $]-a,0[$ ou $]0,a[$ ou $]-a,a[\setminus\{0\}$ .
Alors $G$ admet un développement limité d'ordre $n+1$ obtenu par "intégration terme à terme".

On se ramène au cas précédent en remarquant que $g$ a une limite finie en $0$ ce qui suffit pour dire que $G$ peut se prolonger en $0$ et le prolongement dérivable en $0$ avec $G'(0)=g(0)$ .

Le reste comme précédemment (en restant sur l'intervalle convenable si nécessaire).

Plus simple que les manipulations de $c$ :
On a $|v'(x)|<\theta |x|^n$ d'où, par inégalité des accroissements finis : $|v(x)-v(0)|\leqslant\theta\dfrac{|x|^{n+1}}{n+1}$

Posté par re : Développement limité d'une primitive 01-02-19 à 08:11

$\red\text{Merci d'oublier ce qui concerne }]-a,a[\setminus\{0\}$ :
Utiliser une primitive sur ce qui n'est pas un intervalle ne pouvait conduire qu'à des dégâts.
Il est vrai que $G$ aura une limite finie en 0 à droite ET à gauche mais impossible d'aller plus loin : penser à $g(x)=\dfrac{-1}{1+x^2},\;G(x)=\arctan\dfrac1x$ .

Par conséquent, développé limité sur les voisinages à droite et/ou à gauche et c'est TOUT sans autre hypothèse.

Posté par re : Développement limité d'une primitive 01-02-19 à 12:43

Bonjour luzak.
J'ai posé la question sans y réfléchir, ce qui est complètement débile de ma part, puisque la démonstration que tu proposes est une adaptation de la démonstration de la formule de Taylor.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Fiches de mathématiques

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Développement limité d'une primitive

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths