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développement limité

Posté par
Rira 29-01-19 à 22:36

bonjour,
soit n , I in intervalle de tel que 0I et f:I
Monter que si f est de classe C1 sur I et si f et f' admettant des developpements limités d'ordre n+1 et n resp au voisinage de 0. Alors la partie régulière de DLn (0) de f' est la dérivée de la partie régulière de DLn+1(0).
Merci d'avance

Posté par
jsvdbre : développement limité 29-01-19 à 22:48

Bonjour Rira.

Simplement, tu écris que f(x) = \sum_{k=0}^{k=n+1}a_kx^k+R(x) au voisinage de 0.

Vient le point clé du raisonnement : comme f est C1, alors R l'est également puisque la partie polynômiale du DL est C1.

donc f' = ...

Et ensuite tu invoques l'unicité du DL pour conclure.

Posté par
jsvdbre : développement limité 29-01-19 à 22:53

Et évidemment, je n'ai pas précisé, mais R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0,

et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que : \lim _{{x\rightarrow 0}}{\frac {R(x)}{x^{n}}}=0.

Posté par
jsvdbre : développement limité 29-01-19 à 22:54

\lim _{{x\rightarrow 0}}{\dfrac {R(x)}{x^{n{\red +1}}}}=0.

Posté par
Rirare : développement limité 29-01-19 à 23:05

jsvdb
Merci pour votre aide

Posté par
Rirare : développement limité 29-01-19 à 23:06

Rira
Je ne comprends pas à quoi sert le détails que vous venez d'ajouter ?

Posté par
jsvdbre : développement limité 29-01-19 à 23:07

A rien dans le cadre du présent post ... il faut juste préciser que R tend vers 0 en 0.

Posté par
Rirare : développement limité 29-01-19 à 23:10

jsvdb
oui je comprends,
Si vous permettez , est ce que en calculant f' on tombera sur son développement limité? C'est ça ?

Posté par
luzakre : développement limité 29-01-19 à 23:16

Bonsoir !
Je pense que l'énoncé pourrait être amélioré en :
SI f est C^1 ET f' admet un développement limité d'ordre n, ALORS f admet un développement limité d'ordre n+1 et les parties régulières etc...

En revanche f peut avoir un développement limité et pas f'.

................................
Bonsoir jsvdb :
Ton f'=... et l'unicité du développement de f' c'est un peu "juste" pour conclure. Il faut quand même prendre le temps de dire que la dérivée de x^{n+1}u(x) qui vaut (n+1)x^nu(x)+x^{n+1}u'(x) est bien de la forme x^nv(x),\;v ayant une limite nulle .

Posté par
Rirare : développement limité 29-01-19 à 23:31

plus d'aide s'il vous plait

Posté par
Rirare : développement limité 29-01-19 à 23:48

je calcule f' après quoi??

Posté par
etniopalre : développement limité 30-01-19 à 00:14

Soient P := a0  + a1X +....+ anXn   [X]  tel que (f(x) - P(x))/xn 0 quand x   0.
Posons v(x) = (f '(x) - P(x))/xn  si x 0 et v(0) = 0 .
v est continue et f '(t) =  P(t) + tnv(t) pour tout t de I .

Si x I ,  f(x) = f(0)  + B(x) + R(x) où   B :=a_0X +   \frac{a_1}{2}X² + ....+ \frac{a_n}{n+1}X^{n+1} et   R(x) := \int_{0}^{x}{t^nv(t)}
.
Or si on pose w(x) = Sup{ |v(t)| │ t I [-x , x]  on a : |R(x)|   w(x)xn+1/(n+1)
Comme w(x) 0 quand x 0 il en est de même pour   R(x)/xn+1 .

On a donc montré que si f ' a un dl à l'ordre n  de partie régulière  A , f en admet un à l'ordre n + 1 et  A est la dérivée de sa  partie régulière  .

Posté par
luzakre : développement limité 30-01-19 à 08:16

Bonjour etniopal !
D'accord avec ta démonstration, en notant qu'on n'a pas besoin de savoir, a priori, que f admet un développement limité !
....................................................
Mais je tiens à revenir sur la démonstration qui commence par l'écriture du développement limité de f : on y arrive aussi mais au prix d'une complication certaine.

On part de f(x)=P(x)+R(x), P polynôme de degré inférieur à n+1 et x\mapsto x^{-n-1}R(x) de limite nulle en 0.
Selon les hypothèses on peut dériver et écrire f'(x)=P'(x)+R'(x). Mais pour démontrer que la limite de x^{-n}R'(x) est nulle ce n'est pas simple.

On ignore tout de ce R' et on ne sait même pas si la limite existe.

En utilisant l'hypothèse "f' admet un développement limité" on peut écrire f'(x)=Q(x)+s(x),\;x^{-n}s(x) de limite nulle.
Par différence on aurait alors x^{-n}R'(x)=x^{-n}s(x)+x^{-n}(Q(x)-f'(x)) et je ne vois rien d'autre pour continuer que de supposer Q\neq f'.
Alors Q(x)-f'(x) a un équivalent en 0 de la forme ax^p donc une limite infinie (à droite ou à gauche) si p<n ou une limite finie non nulle si p=n.
Il est alors possible d'établir, par intégration, que x^{-n-1}R(x) a aussi une limite non nulle ce qui est contradictoire.

........................................
J'ajoute que SANS l'existence d'un développement limité pour f' on a des soucis.
Par exemple si f(x)=x^3\,\sin(1/x),\;f(0)=0 on a un développement limité d'ordre 2 pour f (partie régulière nulle).
f est continument dérivable pour x\neq0 et f' a une limite nulle en 0 donc f de classe C^1.
Mais f' n'admet pas de développement limité d'ordre 1.

Posté par
luzakre : développement limité 30-01-19 à 08:21

Citation :
Alors Q(x)-f'(x) a un équivalent en 0 de la forme ax^p donc \color{red} x^{-n}R'(x) a une limite infinie (à droite ou à gauche) si p<n ou une limite finie non nulle si p=n.

Posté par
carpediemre : développement limité 30-01-19 à 10:23

salut

luzak : ne peut-on pas écrire tout simplement :

f(x) = P(x) + u(x) avec deg (P) = n +1 et lim u(x) = 0 quand x --> 0

f'(x) = Q(x) + v(x) avec deg (Q) = n et lim v(x) = 0 quand x --> 0

donc f'(x) = P'(x) + u'(x) = Q(x) + v(x)

l'unicité du dl implique que P' = Q et lim (u' - v)(x) = 0

or u' = u' - v + v donc lim u'(x) = 0

Posté par
jsvdbre : développement limité 30-01-19 à 11:37

@carpediem : il faut être un peu plus précis sur les restes, mais bon hier soir, j'ai fait vite.

luzak @ 29-01-2019 à 23:16


Bonsoir jsvdb :
Ton f'=... et l'unicité du développement de f' c'est un peu "juste" pour conclure. Il faut quand même prendre le temps de dire que la dérivée de x^{n+1}u(x) qui vaut (n+1)x^nu(x)+x^{n+1}u'(x) est bien de la forme x^nv(x),\;v ayant une limite nulle .


f est C1 est admet un DL à l'ordre n+1 en 0 donc f(x) = P_{n+1}+R_{n+1}(x) avec \lim x^{-(n+1)}R(x) = 0 en 0

f' (qui existe par hypothèse) admet (par hypothèse) un DL à l'ordre n donc en 0 donc

d'une part  f'(x) = P_n+\tilde R_n(x) avec \lim x^{-n}\tilde R(x) = 0 en 0

d'autre part f'(x) = P'_{n+1}+R'_{n+1}(x)

Mais là, il faut effectivement montrer que \lim x^{-n}R'(x) = 0 en 0 et une simple identification ne suffit pas.

On le fait par récurrence sur n.

Au rang 1 c'est la définition de la dérivabilité.

Supposons vrai le résultat à l'ordre n - 1.
Si f vérifie les hypothèses à l'ordre n, alors f' les vérifie à l'ordre n-1.

L'hypothèse de récurrence entraîne alors R'_n = f'-P'_n=o(x^{n-1})

Donc, pour \varepsilon > 0, on peut trouver un \eta > 0 tel que |x| \leq \eta \Rightarrow \left|\dfrac{R'_n(x)}{x^{n-1}}\right|\leq \varepsilon

On fixe un x \in ]0;\eta] et on applique le théorème des accroissements finis appliqué à R_n sur l'intervalle ]0;x].

Il vient l'existence d'un c \in ]0;x[ tel que R_n(x) = \dfrac{R'_n(c)}{c^{n-1}}

Il vient \left|\dfrac{R_n(x)}{x^{n}}\right| =\left|\dfrac{R'_n(c)}{x^{n-1}}\right| \leq \left|\dfrac{R'_n(c)}{c^{n-1}}\right|\leq \varepsilon

On pratique un raisonnement identique sur [-\eta;0[ et on a la conclusion que R_n est négligeable devant x \mapsto x^n en 0

Posté par
luzakre : développement limité 30-01-19 à 11:50

Bonjour carpediem !
Tout d'abord tu devrais écrire respectivement x^{n+1}u(x),\;x^nv(x), à moins de parler de limites nulles pour x\mapsto x^{-n-1}u(x),\;x\mapsto x^{-n}v(x).
Par dérivation tu aurais alors P'(x)+(n+1)x^nu(x)+x^{n+1}u'(x)=Q(x)+x^nv(x).

Mais pour parler d'unicité de développements limités il faudrait être certain que x\mapsto (n+1)u(x)+xu'(x) ait une limite nulle (ou en gardant ton écriture que \color{red}u'(x)=o(x^n)) ce qui est exact mais pas du tout évident.
C'est en supposant Q\neq P' que j'arrive à trouver une contradiction concernant la limite nulle pour u(x)\text{ --- ou }x^{-n-1}u(x)\text{ en gardant ta formulation  --- }(mais il est possible que je ne sois pas assez malin pour faire plus simple).

Bref on retrouve le conseil habituel : il est préférable d'avoir à manipuler des primitives que d'avoir à  le faire pour des dérivées.

Posté par
luzakre : développement limité 30-01-19 à 15:09

Ok jsvdb !
Ton initialisation de récurrence invoque la continuité de f' en 0, pas seulement son existence.

Il y a quelques bizarreries dans ton utilisation du réel c.
.. Ce serait plutôt R_n(x)=xR'_n(c) (la condition R_n(0)=0,\;n>0 devrait être mentionnée : tu supposes implicitement que tu as prolongé R_n en 0 par continuité) d'où la majoration  \Bigl|\dfrac{R_n(x)}{x^n}\Bigr|\leqslant \Bigl|\dfrac{R'_n(c)}{c^{n-1}}\Bigr| ?
.. A moins que tu n'aies voulu utiliser la formule généralisée des accroissements finis concernant un quotient \dfrac uv où u(0)=v(0)=0, auquel cas il manquerait un n (pour la dérivée de x^n) en dénominateur !

Il me semble inutile de te compliquer la vie avec x\in]-\eta,0] : Il suffit d'utiliser les accroissements finis en 0,x avec |x|<\eta.

Posté par
jsvdbre : développement limité 30-01-19 à 19:30

Mais n'importe quoi, moi ! C'est du Taylor que j'ai fait ... pas du DL !
Je me disais bien qu'il y avait un truc qui me chagrinait dans ma rédaction, mais je n'arrivais pas à voir quoi ... désolé !

Posté par
jsvdbre : développement limité 30-01-19 à 22:43

Je considère I un intervalle de la forme [a;b] avec a < 0 < b et on ne s'enquiquine pas avec des problèmes aux bords.

Proposition :

Soit R une fonction réelle définie sur I par R(x) = x^{n+1}\varepsilon(x) où la fonction \varepsilon \in C^1(I) et de limite nulle en 0.

Alors R\in C^1(I) et R'(x) = x^n({\red (n+1)\varepsilon(x) + x \varepsilon'(x)})

Compte tenue de l'hypothèse de régularité faite sur \varepsilon, la quantité en rouge tend vers 0 en 0 et par suite R' \in o(x^n)

Application :

Soit maintenant f \in C^1(I;\R), admettant un DL_{n+1} en 0.

On suppose en outre, que f', qui est donc un élément de C(I;\R), admet un DL_{n} en 0.

On a alors que pour tout x \in I, f(x) = P(x) + R(x) où P est un polynôme de degré n + 1 et R une fonction du type décrit dans la proposition.

Il vient donc que pour tout x \in I, f'(x) = P'(x) + R'(x) où R' étant, comme vu ci-dessus, un élément de type o(x^n) permet d'affirmer que la partie régulière du DL de f' est la dérivée de la partie régulière du DL de f.

Posté par
luzakre : développement limité 30-01-19 à 23:12

Bonsoir jsvdb !
En prenant \varepsilon de classe C^1 nulle en 0, tu "sors des limites de l'épure".
L'existence d'un développement limité d'ordre n+1 pour une fonction de classe C^1 permet d'avoir un reste x^{n+1}\varepsilon(x) avec x\mapsto x^{n+1}\varepsilon(x) de classe C^1. Mais tout ce qu'on sait de la fonction \varepsilon c'est  qu'elle est de limite nulle (on peut même en prolongeant en 0, la supposer continue)
Pour passer à \varepsilon tu dois diviser par x^{n+1} et perds toute maîtrise pour la dérivabilité du quotient en 0.

Ce qui ne va pas c'est

Citation :
R une fonction du type décrit dans la proposition.

Sans l'existence d'un développement limité pour f' tu ne peux prétendre cela.

.........................
Revois mon exemple f(x)=x^3\,\sin(1/x),\;f(0)=0. Ton reste de développment limité est f qui est bien de classe C^1 mais pas le quotient x\mapsto x^{-2}f(x).

Posté par
jsvdbre : développement limité 30-01-19 à 23:44

Bonsoir luzak.
Ok, je viens de me rendre compte de mon abominable erreur : x^{n}\varepsilon peut être C^1 sans que \varepsilon soit même seulement continue.

Posté par
jsvdbre : développement limité 30-01-19 à 23:50

Je précise bien entendu que dans le cas ci-dessus, si discontinuité de \varepsilon il y a, ce ne peut être qu'en 0.

Par ex : x \mapsto x^3\textbf{sgn}(x) qui est C^2 et trois fois dérivable sur \R alors que la fonction signe n'est pas continue en 0.

Posté par
jsvdbre : développement limité 31-01-19 à 00:28

Je comprends mieux maintenant ta remarque :

luzak @ 29-01-2019 à 23:16

Je pense que l'énoncé pourrait être amélioré en :
SI f est C^1 ET f' admet un développement limité d'ordre n, ALORS f admet un développement limité d'ordre n+1 et les parties régulières etc...


Effectivement, on se fiche pas mal à priori que f admette un DL_{n+1} puisqu'on peut toujours "primitiver" un DL.

Donc, supposer que f' admet un DL_{n} implique obligatoirement que f en admet un à l'ordre au dessus et que la partie régulière du DL de f' sera la dérivée de celle du DL de f.

C'est amusant : on part de f', on "recrée" f et on revient sur f'. Joli

Question subsidiaire :

On ne peut se contenter de ceci :

SI f est dérivable ET f' admet un développement limité d'ordre n, ALORS f admet un développement limité d'ordre n+1 et les parties régulières etc...

Posté par
jsvdbre : développement limité 31-01-19 à 07:45

Citation :
on peut toujours « primitiver » un DL

On oublie cette phrase qui est un non sens total sans hypothèse supplémentaire

Posté par
luzakre : développement limité 31-01-19 à 08:28

Ta "question subsidiaire" est-elle une question ?
Puisque tu donnes la réponse "on ne peut se contenter..." je ne peux que répondre "oui" : il suffirait de fabriquer (pas très facile quand même !) une fonction f' qui ne redonne pas f par intégration.
Mais comme f' admet un développement limité elle est continue en 0 et j'avoue ne pas connaître d' exemple...

Posté par
jsvdbre : développement limité 31-01-19 à 10:09

Oui, luzak, la « question subsidiaire «  est une question.
Elle aurait dû être formulée comme suit : « ne peut-on pas se contenter de… ? »

Posté par
jsvdbre : développement limité 31-01-19 à 10:19

Probablement en s'aidant de l'escalier du diable on devrait pouvoir trouver un contre-exemple (bien entendu dans ce cas, on est dans le « dérivable presque partout »)

Posté par
luzakre : développement limité 31-01-19 à 16:52

@ jsvdb :
Je préfère continuer sur ce post : Développement limité d'une primitive


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