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devoir maison pour jeudi vite!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Exercice2 : Etudier les variations d'une fonction pour résoudre
un problème d'optimisation Soit c un réel appartenant à ] 0
; 1 ] Le point C d'abscisse c appartient à la parabole d'équation
y = 1 - x2
La tangente en C à la parabole coupe (Ox) en A et (Oy) en B.
1°) Déterminer une équation de la droite (AB)
2°) Calculer les coordonnées de A et de B
3°) Calculer l'aire du triangle OAB en fonction de c notée f(c)
4°) Etudier les variations de la fonction f sur ] 0 ; 1 ]
5°) En déduire la position du point C pour que l'aire du triangle
OAB soit minimale.
Exercice3 : f est la fonction définie sur l'intervalle [0 ;+oo [ par :
f(x)=1+(1/1+x)
1)Etudier le sens de variation de fsur l'intervalle [0 ;+oo
[.
2)a)Justifier l'existence sur l'intervalle [0 ;+oo [ des fonctions fof
puis fofof b) Donner les expressions de fof(x) et de fofof(x) . c)Déterminer
le sens de variation sur l'intervalle [0 ;+oo [ des fonctions
fof et fofof.
3)a)Résoudre dans [0 ;+oo [ l'équation f(x) = x
b)En déduire sous la forme la plus simple f(racine2) , fof(racine2) et
fofof(racine 2)
4)En utilisant fofof et l'encadrement 1 < racine 2 < 2 ; déterminer
un nouvel encadrement de racine 2.
Exercice 2
C a pour abscisse c, il est sur y = 1-x² -> y = 1-c²
On a donc: C(c ; 1-c²)
1)
y' = -2x
y'(c) = -2c
La tangente en C à la parabole a pour équation:
(y -(1-c²)) = (x - c).(-2c)
y = -2cx + 2c² + 1 - c²
2)
A se trouve en résolvant le système:
y = -2cx + c² + 1.
y = 0
-> -2cx + c² + 1 = 0
x = (c²+1)/2c
A((c²+1)/2c ; 0)
B se trouve en résolvant le système:
y = -2cx + c² + 1.
x = 0
-> y = c²+1
B(0 ; c²+1)
3)
Aire(OAB) = |OA|*|OB|/2
f(c) = [(c²+1)/2c]*(c²+1)/2
f(c) = (c²+1)²/4c
4)
f '(c) = (1/4). [4c²(c²+1)-(c²+1)²] /c²
f '(c) = (1/4).[4c^4+4c²-(c^4+2c²+1)]/c²
f '(c) = (1/4).(3c^4 + 2c² - 1)/c²
f '(c) = (3/4).( c²+1)(c²-(1/3))/c²
sur ]0 ; 1], (3/4).( c²+1)/c² > 0
->
f '(c) a le signe de c²-(1/3) sur cet intervalle.
f '(c) < 0 pour c dans ]0 ; 1/racine(3)[ -> f(c) décroissante.
f '(c) = 0 pour c = 1/racine(3)
f '(c) > 0 pour c dans ]1/racine(3); 1] -> f(c) croissante.
Il y a donc un minimum de f(c) pour c = 1/racine(3)
5)
abscisse du point C cherché est 1/racine(3)
Son ordonnée est trouvée par:
y = 1 - x² où x = 1/racine(3)
y = 1 - (1/3) = 2/3
-> le point est : (1/racine(3) ; 2/3)
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Exercice 3
f(x) = 1 + 1/(1+x)
Domaine de définition de f(x): tout x de R sauf x = -1.
-> esiste partout sur [0 ; oo[
1)
f(x) = (x+2)/(x+1)
f '(x) = ((x+1)-(x+2)) /(x+1)²
f '(x) = -1 /(x+1)²
f '(x) partout < 0 sur [0 ; oo[ -> f(x) décroissante.
2)
fof = ( [(x+2)/(x+1)]+2) / ( [(x+2)/(x+1)]+1)
fof = ( [(x+2+2x+2)/(x+1)]) / ( [(x+2+x+1)/(x+1)])
fof = (3x+4) / (2x+3)
. . .
Tu peux continuer seul.
3)
a)
f(x) = (x+2)/(x+1) = x
x+2 = x(x+1)
x+2 = x² + x
x² = 2
x = racine(2) dans [0 ; oo[.
b)
f(racine(2)) = racine(2)
fof = (3x+4) / (2x+3)
fof(racine(2)) = (3.racine(2)+4) / (2(racine(2)+3)
En multipliant par (2(racine(2)-3)/(2(racine(2)-3)
On a après développement et simplification:
fof(racine(2)) = racine(2)
. . .
Avec ce que tu auras trouvé dans le 2a, calculer:
fofof(racine(2)).
Tu devrais trouver: fofof(racine(2)) = racine(2)
. . .
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