Le but du problème est de montrer que dans tout triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle sont alignés. La droite qu'ils forment est appelée droite d'Euler du triangle.

A. Résultats préliminaires :
Les deux questions sont indépendantes.
1.
OBC est un triangle isocèle en O. I est le milieu de [BC].
Calculer (.

j'ai montré que ( + ) revient à représenter [OI]. Puis à partir de de la propriété d'un triangle isocèle qui dit que la hauteur issue du sommet principal, la bissectrice, la médiatrice et la médiane sont confondueset sachant que I est le milieu de [BC], j'en ai déduit que [OI] [BC]. Et par conséquent :
( + ). = OI * BC * cos( ; )
                               = 0
2.
A,B et C sont trois distincts non alignés.
Que peut-on dire d'un vecteur tel que .=0 et .=0 ?

j'ai fais un schéma avec les trois points non alignés et j'ai constaté que le vecteur qui est perpendiculaire à [AB] et [BC] n'est pas le même. J'ai conclu qu'on ne peut pas représenter le vecteur et qu'il n'est perpendiculaire à [AB] et à [BC] en même temps que si les trois points sont alignés.

B. La droite d'Euler :
ABC est un triangle, C est son cercle circonscrit de centre O, H son orthocentre et G son centre de gravité.
1.
a) En utilisant la résultat de la question A.1. démontré que ( + + + ). =0.
b) Démontré de même que ( + + + ). =0.
c) En utilisant le résultat de question A.2. montrer que = + +
2.
a) On rappelle que le centre de gravité G d'un triangle ABC vérifie la relation + + = .
Exprimer + + en fonction de .
b) Déduire des question précédentes que O, G et H sont trois points alignés.

j'aimerais déjà que vous m'aidiez à comprendre la question B.1.a) que peut être ça m'aidera un peu plus pour la question qui suit.

j'espère encore que vous pourrais m'aider.