Bonjour à tous.

Mon prof de maths nous a donné récement un devoir maison qui porte en grande majorité sur le produit sclaire et j'ai quelques difficultés.
Voici l'énoncé :

I] Soit C un cercle de centre O et de rayon r, P un point distinct de O intérieur au cercle.
Soit [AB] une corde passant par P ; on appelle M le point d'intersection, s'il existe, des tangentes en A et B au cercle C.
Quel est le lieu géométrique L du point M lorsque le point A décrit le cercle C ?
A\ Conjecturer le lieu de M en dessinant plusieurs positions du point A.

B\ Démonstration de la conjecture :

1) Etude directe

Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (OP) et N le point d'intersection des droites (OM) et (AB).

a\ Démontrer que OP.OH = OM.ON (vecteurs)
b\ Démontrer que OM.ON = r²
c\ En déduire que le point H ne dépend pas de A et que le point M est sur une droite  d fixe extérieure au cercle C.

2) Etude réciproque

Construire les tangentes au cercle C issues d'un point M quelconque de la droite d et prouver que M appartient à L.

3) Conclusion

II] Déterminez sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 7³.

III] Soit ABC un traingle équilatéral dont les côtés ont pour longueur l.
On désigne par O un point quelconqu, intérieur au triangle ABC. On appelle :
H le projeté orthogonal de O sur (AB)
I le proheté orthogonal de O sur (BC)
J le projeté orthogonal de O sur (CA)

a\ Montrer que AO.AB = l X AH
Etablir des relations similaires pour BO.BC et CO.CA (vecteurs)

b\ Prouvez l'égalité : AO.AB + BO.BC + CO.CA = AB.AC + ||BC||²

c\ En déduire que la somme de distances AH+BI+CJ prend une valeur constante k ( c'est-à-dire indépendante du point O choisi).
Calculer k en fonction de l uniquement.

d\ Que vaut la quantité BH+CI+AJ ?

e\ Que représente l X vecteur OH pour le triangle OAB ? En déduire que la quantité OH+OI+OJ ne dépend pas non plus du choix du point O.