J'ai fait une petite erreur c'est démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales et pas orthogobales ^^.
Sinon s'il vous plait n'y a t-il personne pour essayer de répondre à cette quetion car ce DM est pour demain et j'ai beau plancher sur cette question je ne parviens pas à trouver la solution ...

Bonjour,
*(OC) ortogonale à (OA) et (OC) ortogonale à (OB)
donc (OC) ortogonale à (OAB) puis (OC) ortogonale à (AB).
*(AB) ortogonale à (OC) et (AB) ortogonale à (CI)
donc (AB) ortogonale à (OCI) puis (AB) ortogonale à (OH).

OA=OB=OC donc O est sur l'axe du cercle circonscrit à ABC.
(OH) étant ortogonale à (ABC), en déduire que (OH) est cet axe et que H est le centre de ce cercle (aussi orthocentre puisque ABC est équilatéral).

Merci beaucoup pour la réponse je n'avais pas du tout pensé à cette piste il y a juste une chose que je ne comprends pas trop :
"(OH) étant ortogonale à (ABC), en déduire que (OH) est cet axe et que H est le centre de ce cercle "
J'ai compris le principe mais comment peut-on affirmer cela ?
Merci encore ^^

Définition et propriétés de cet axe ne sont peut-être pas disponibles (1ère ?).
On peut considérer les plans médiateurs de [AB] et [AC].
Ils sont perpendiculaires à (ABC) donc leur intersection est une droite perpendiculaire à (ABC).
Ils contiennent O donc leur intersection est une droite qui passe par O.
Par O, une seule perpendiculaire à (ABC) : c'est (OH).  

Oui je crois que c'est Hors Programme 1èreS car je n'ai pas souvenir d'avoir vu çà ou alors je ne l'ai pas encore étudié.
Mais bon je devrais tout de même réussir à me dépatouiller avec çà, merci pour tes esxplications

La dernière question de ce DM est aussi délicate.
Voici d'abord un compte-rendu de ce qui a été fait précédemment après les 2 questions ci-dessus :
J'ai calculé le volume du tétraèdre OABC et l'aire S de ABC et j'en ai déduis que OH=a multiplié par racine de 3 sur 3
On se place ensuite dans le repère (O;1/a*vecteurOA;1/a*vecteurOB;1/a*vecteurOC)
On démontre que H a pour coordonnées (a/3;a/3;a/3) et que le tétraèdre ABCD est régulier.
Voila la question :
Soit oméga le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.
Démontrer que oméga est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

Merci d'avance à ceux qui répondront.

Pour montrer que H est orthocentre de ABC, il y a d'autres solutions.
On peut utiliser un calcul vectoriel dans le repère orthonormal donné.
Soir G le centre de gravité de ABC.
GA+GB+G=0 donc
3OG=OA+OB+OC. D'où les coordonnées de G : (a/3;b/3;c/3)
Utiliser les coordonnées de G, A, B, C pour montrer ensuite que OG.AB=0 et OG.AC=0 et en déduire que (OG) est orthogonale à (ABC).
Or on sait que (OH) est orthogonale à (ABC). Don H=G.
On peut alors calculer OH par OH²=a²/9+a²/9+a²/9=a²/3...

Finalement je pense que je vais utilier la deuxième méthode car je la maitrise beaucoup mieux.
Encore merci à toi pour ces réponses

On peut aussi utiliser une équation du plan ABC, en déduire un vecteur normal (cours?) et montrer qu'il est colinéaire à OG...
OH peut alors (re)trouvé avec la formule donnant la distance d'un point à un plan (cours?).

J'ai rendu mon DM ce matin et j'ai utilisé ta deuxième technique la troisième aurait aussi pu marcher et nous l'avons vu en cours mais bon je préfére la deuxième

J'ai la même question pour le centre de la sphère, est-ce que l'un d'entre vous pourrez m'aider???
Merci d'avance

J'ai 2 questions :
Dans le prisme suivant http://carmiel.free.fr/img/prisme.jpg comment démontrer que CH (H étant le pied de la hauteur issue de C) est orthogonal au plan (ABED) ?

Pour représenter la prisme avec ABED en plan frontal quelle doit être la dimension de H'C' (PC(45°,1/2) sachant que HC=2,4cm ?