soit (Un) la suite définie par : U0=1  et  Un+1 = Un + (1+Un)/(1+2Un)

1) Montrer par récurrence que pour tout n appartenent à N ; Un>0
U0=1
u1=u0+ (1+u0)/1+2u0=1+ 7/3= (3+7)*3=10/3=3.333
u2=u1 +(1+u1)/1+2u1=7/3+ (3+10)*1/3
                          ----------
                           1+14/3
=7/3 + 13/3 =7/3+13/17=7*17+13*3
       -----           ---------= 158/17=9.24
       17/3              17
u0>0
u1>0
u2>0
Un+1 = Un + (1+Un)/(1+2Un)
si un>0 1+Un>0 1+2Un>0
tous les termes sont >0 donc Un+1 >0
Comme 1er terme >0, un>0 donc Un+1>0


  



*** message déplacé ***

2) Etudier le sens de variation de la suite (Un)
Un+1 -Un = (1+Un)/(1+2Un)
1+Un>0 1+2Un>0
1+Un/1+2Un>0
Un+1-Un>0
donc Un croissante
mais plus Un augmente 1+Un augmente
1+2Un augemente encore plus vite que 1+Un
donc croissance de -en -forte

3)a)Montrer que pour tout n appartenant à N ;
Un+1 ≥Un+(1/2)

lim (Un+1-Un)= 1+Un
              ------
               1+2Un
        = 1      Un
         ---- + -----
         1+2Un  1+2Un

si n tend vers infini 1+2 Un tend vers 2un
donc Un/1+2Un tend vers 1/2
1/1+2Un converge vers 0+
donc Un+1> ou égal à un+1/2

b) En déduire à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout n appartenant à N ; Un ≥1+(n/2
u0=1        = 1
U1=7/3      >  1+7/6=13/16  
etc
etc
donc vrai

4/convergence?
Un      1+n/2        1+n/2  2+n
--- >= ------------= -----= ----- tend vers1
Un+1    1+ (n+1)1/2 3/2+n/2 3 +n

     tend vers 1

Un/Un+1 tend vers 1 donc suite convergente



*** message déplacé ***

Merci noella tu ma l'air vraiment forte en maths
jte remercie beaucoup

*** message déplacé ***

De rien. Mais il m'arrive de ne pas être complète. Je te conseille donc de consulter le forum au sujet des suites. Il y a des corrections faites par des ingénieurs, des professeurs, des vrais matheux

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