Niveau enseignement

Discussion autour de la notion de limite

Posté par
jsvdb 23-11-17 à 11:14

Bonjour à tous.

Je fais suite à ce fil : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? dont la discussion commençait à devenir pointue, et ce, afin que les aficionados pour les différents aspects de la notion de limite puissent exprimer leurs différents points de vue : en tant qu'enseignant au lycée, au secondaire, en tant que théoricien, bourbakiste, ZFC-iste etc etc.

Que la fête commence ... et à la limite ... bah ! pas de limite à la fête.

Posté par re : Discussion autour de la notion de limite 23-11-17 à 11:33

Pour mémoire, il est rappelé ce qui suit :

- Notre ami larrech ouvre le bal avec :

Citation :
un peu de polémique

Commentaire perso : à ce niveau, on va dépasser le stade du "un peu"

- Réaction d'alb12 :

Citation :
"Je découvre alors à ma grande stupéfaction que Bourbaki a donné deux définitions de la limite d'une fonction quand x tend vers a : la limite pointée, qui prend en compte la valeur de f en a si elle existe, et la limite épointée, qui ne la prend pas en compte" dit le polemiqueur.
Tout prof un peu cultive connaît cette distinction.

- Votre serviteur fait ensuite un peu d'ironie : on va laisser tomber.

- Toujours votre serviteur :

Citation :
il n'y a pas deux définitions de la limite, il n'y en n'a qu'une. Celle que l'on prend pour la seconde n'est qu'un cas nano-particulier de ce que Bourbaki appelle la « limite selon un sous-ensemble »
Enfin, je vais me répéter pour la x-ieme fois : la notion de limite ne sera vraiment comprise que quand on voudra bien reparler de filtres (au moins au niveau supérieur: je comprends que ça puisse être chaud au lycée )

- ThierryPoma :

Citation :
Il convient de bien se renseigner avant d'écrire tout et n'importe quoi. Cf. ceci

Citation :
A consulter aussi l'intervention de GaBuZoMeu ici

qui est pertinente.

Posté par re : Discussion autour de la notion de limite 23-11-17 à 11:51

Bonjour !
Il est clair que la notion idéale (celle des bases de filtre) ne peut être introduite pour tout le monde.
.........................................
S'agissant des limites selon les voisinages de $a$ je serai enclin à considérer les limites "épointées" :
- la notion me semble plus utile (l'autre est facilement remplacée par "continuité") et fréquente (c'est la seule notion utilisable pour les dérivées)
- quand on écrit $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ personne n'a envie d'ajouter $x\neq+\infty$ dans l'indice.
........................................
Mais je suis bien conscient d'une difficulté : celle de la composition (elle devient compliquée à gérer) et en particulier l'utilisation des suites dans les espaces métriques (qui est une forme de composition).
A noter qu'on voit beaucoup d'utilisation incorrecte de la composition pour dériver une fonction composée :

le classique $\dfrac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\dfrac{g(y)-g(f(a))}{y-f(a)}\,\dfrac{y-f(a)}{x-a}$
........................................
Bref, compte tenu de la controverse, continuer d'utiliser la notion de limite épointée mais écrire systématiquement $\lim_{x\to a,\,x\neq a}...$ . Après tout c'est une obligation d'ajouter ce genre de restriction lorsqu'on veut une limite à droite ou à gauche.

Posté par re : Discussion autour de la notion de limite 23-11-17 à 12:03

salut

PS : on en avait déjà parler dans un autre post ...

bof ... de la masturbation intellectuelle ... ce qui compte c'est comme le dit D. Perrin la cohérence ...

il ne m'est aucunement génant de considérer la définition de la limite équivalente à celle de la continuité pour laquelle la fonction nulle sur R sauf en 0 où elle vaut 1 n'a pas de limite et de passer à la limite épointée (qui consiste à rajouter la condition restrictive $x \ne a$ ) et pour laquelle la même fonction à une limite

l'important consiste uniquement à savoir de quoi je parle ...

et éventuellement à modifier cette définition quand je travaille sur des espaces plus généraux ...

luzak @ 23-11-2017 à 11:51

A noter qu'on voit beaucoup d'utilisation incorrecte de la composition pour dériver une fonction composée :

le classique $\dfrac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\dfrac{g(y)-g(f(a))}{y-f(a)}\,\dfrac{y-f(a)}{x-a}$

je ne comprends pas ...

Posté par re : Discussion autour de la notion de limite 23-11-17 à 18:28

Ben après on passe à la limite en composant et trouve $(g_{\circ}f)'(a)=g'(f(a))f'(a)$ en "oubliant" que la limite $g'(f(a))$ est obtenue sur les voisinages épointés de $f(a)$ ce qui n'est pas garanti pour $f$ non injective (prenant plusieurs la valeur $f(a)$ sur tout voisinage de $a$ )

Posté par re : Discussion autour de la notion de limite 23-11-17 à 18:54

effectivement ...

et c'est pourquoi il peut être intéressant de commencer à composer avec des suites car alors la seule limite considérée pour la variable n est +oo ... qui est évidemment "épointé" ... puisque par définition on ne l'atteint jamais bien qu'on ne cesse de s'en approcher ...

ce qui est parfois mal concevable dans R et qu'on cherche une limite en une valeur finie où bon nombre d'élèves nous disent : mais 2 il est là-devant moi, je peux y aller ...

ben non y a des cas où on peut pas ...

Posté par re : Discussion autour de la notion de limite 24-11-17 à 07:55

Non, le problème ne vient pas de $n$ mais des valeurs prises par la suite. Pour des limites épointées, il faut imposer que la suite prenne des valeurs distinctes de sa limite.