Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Distance d un point à une droite
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Doit (D) la droite d'équation y=(1/2)*x +4
Soit a un réel et M le point de la droite (D) d'abscissea.
a) Exprimer la distance OM en fonction de a.
b) Pour quelle valeur de a la distance OM est-elle minimal?
c On appelle Mo le point de (D) tel que OMo soit minimal. Que peut-on dire des droites OMo eet (D)
(on admettra que deux droites de coefficients directeurs respectifs a1 et a2 sont orthogonales si a1*a2= -1
La je seche un peu voir beaucoup help me please thanks !
Bonjour
je n'arrive pas à "lire" ce que tu as voulu exprimer
tu as une droite d'équation
y=x/2+4
M est un point de (D)
Comment intervient a ??
si c'est l'absicisse de M tu as alors son ordonnée en remplaçant x par a dans l'équation de D
yM=a/2+4=(a+8)/2
OM²=xM²+yM²=a²+(a+8)²/4=(5a²+16a+64)/4
si a est autre chose que ma supposition, il faut "oublier" ce que j'ai fait
b) la distance OM sera minimale lorsque
5a²+16a+64 sera minimale
tu peux l'écrire
5(a²+16a/5+64/5)
et tu constates que a²+16a/5, c'est le début d'un carré.
(a+8/5)²=a²+16a/5+64/25
donc OM²=(a+8/5)²+(64/5-64/25)
si tu ajoutes 2 valeurs dont l'une est une constante, la somme sera minimum lorsque celle qui est variable est nulle
et c'est ici le cas pour a=-8/5
c) si tu n'as pas oublié que la plus courte distance d'un point à une droite , c'est la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite.
par conséquent OMo et D sont perpendiculaires
l'équation de la droite OMo est y=-2x (voir ce que l'on te fait admettre et elle passe par l'origine)
et tu as les coordnnées de Mo en trouvant l'intersection de la droite
(OMo) et D
-2x=x/2+4
-5x/2=4
x=-8/5
tu retrouves bien la valeur minimale que nous avions calculée autrement
Bon travail
a)
M est le point de D d'abscisse A, l'ordonnée de M est donc: (1/2)a + 4.
-> M(a ; (a/2)+4)
|OM| = V(a² + ((a/2)+4)²) (avec V pour racine carrée)
|OM| = V(a² + (a²/4) + 4a + 16)
|OM| = V((5a²/4) + 4a + 16)
-----
b)
f(a) = V((5a²/4) + 4a + 16)
f '(a) = ((10a/4)+4)/(2V((5a²/4) + 4a + 16))
Le dénominateur est > 0 -> f'(a) a le signe de (10a/4) + 4 = 2,5a + 4
f '(a) < 0 pour a dans ]-oo ; -1,6[ -> f(a) est décroissante.
f '(a) = 0 pour a = -1,6
f '(a) > 0 pour a dans ]-1,6 ; oo[ -> f(a) est croissante.
f(a) est minimum pour a = -1,6
-----
c)
Avec Mo(-1,6 ; (-1,6)/2 + 4)
Mo(-1,6 : 3,2)
Le coefficient directeur de OMo = 3,2/(-1,6) = -1/2
Le coefficient directeur de D est (1/2)
Le produit des coeff directeurs de OMo et D est égal à -1
-> Les droites OMo et D sont perpendiculaires.
-----
Sauf distraction. 
Annuler
connectez vous