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Posté par Emilie48 (invité)distance d un point à une droite 18-03-06 à 16:17

bonjour, j'ai un dm de maths à effectuer et je suis bloquée sur un exercice.
Voici l'énoncé: dans un repère orthonormé (o;i;j), on considère une droite D d'équation ax+by+c=0 avec (a;b) différents de (0;0) et un point A(xA;yA)
d(A;D)=AH où H est le projeté orthogonal de A sur D
Un vecteur normal à la droite D est n(a;b)
Les vecteurs AH et n sont colinéaires et |n.AH!=||n||*||AH||
voici la question posée:
En notant H(xH;yH), monter que  AH= |axA+bYa+c|/racine carrée(a²+b²)
Comment puis-je le démontrer? Merci beaucoup

*** message déplacé ***

Niveau première
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distance d un point à une droite

Posté par Emilie48 (invité) 18-03-06 à 16:29

Bonjour, je dois rendre un dm de maths mardi sur le produit scalaire et notamment sur la distance d'un point à une droite. Voici l'énoncé: dans un repère orthonormé (O;i;j) on considère une droite D d'équation ax+by+c=0, avec (a;b) différent du point 0 , et un point A(xA;yA)
d(A;D)=AH où H est le projeté orthogonal de A sur D
Un vecteur normal à la droite D est n(a;b)
Les vecteurs AH et n sont colinéaires: |n.AH|=||n||*||AH||
et maintenant voici l'énoncé de la question: En notant H(xH;yH), montrer que AH= |axA+byA+c|/racine carrée (a²+b²)
Comment peut-on faire pour démontrer cette égalité??
Merci de m'aider.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : distance d un point à une droite 18-03-06 à 17:07

Bonjour,

3$\vec{AH} est colinéaire à 3$\vec{n} donc il existe 3$\lambda\in\mathbb{R} tel que 3$\vec{AH}=\lambda\vec{n}=\lambda\left({a\\b}\right)
donc :
3$\{{x_H=x_A+\lambda a\\y_H=y_A+\lambda b}
Or 3$H est sur la droite, donc :
3$ax_H+by_H+c=0
3$ax_A+by_A+c=-\lambda(a^2+b^2)
3$\lambda=-\frac{ax_A+by_A+c}{a^2+b^2}

Enfin,
3$||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||}=\lambda ||\vec{n}||=...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : distance d un point à une droite 19-03-06 à 03:47

Pardon, il manque une valeur absolue dans la dernière ligne :
3$||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||}=|\lambda |\cdot ||\vec{n}||=...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : distance d un point à une droite 19-03-06 à 04:43


J'ai voulu tester une autre méthode, qui n'est pas celle attendue.

Soit 3$\mathscr{D} la droite d'équation 3$ax+by+c=0. Dans le cas 3$b=0, la formule finale est facile à établir. On suppose dans la suite que 3$b\neq 0. Dans ce cas, l'équation de 3$\mathscr{D} peut aussi s'écrire 3$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}

Soit 3$M(x_M,y_M) un point de 3$\mathscr{D}.
Soit 3$d(M) la distance de 3$A(x_A,y_A) à 3$M :
3$d(M)^2=(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2

La distance 3$\delta de 3$A à 3$\mathscr{D} correspond au minimum de la distance de 3$A à 3$M quand 3$M décrit 3$\mathscr{D}.

Or 3$d(M)^2=(x_A-x_M)^2+(y_A+\frac{a}{b}x_M+\frac{c}{b})^2
On développe et met sur le même dénominateur :
3$d(M)^2=\frac{a^2+b^2}{b^2}\left{x^2_M+2\left(\frac{-b^2x_A+aby_A+ac}{a^2+b^2}\right)x_M+\left(\frac{b^2x^2_A+b^2y_A^2+2bcy_A+c^2}{a^2+b^2}\right)\right}

Or, en toute généralité, le trinôme 3$x\mapsto x^2+2Bx+c admet son minimum en 3$-B et il a pour valeur 3$C-B^2

Donc :
3$\delta^2=\frac{a^2+b^2}{b^2}\left{\left(\frac{b^2x^2_A+b^2y_A^2+2bcy_A+c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{-b^2x_A+aby_A+ac}{a^2+b^2}\right)^2\right}
Après développement, mise sur le même dénominateur et factorisation de l'accolade, on trouve :
3$\delta^2=\frac{a^2+b^2}{b^2}\left{\frac{b^2(ax_A+by_A+c)^2)}{(a^2+b^2)^2}\right}
Donc :
3$\red\fbox{\delta=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}

Sauf erreur.

Nicolas

PS - les calculs bien bourrins, quand on aime, on ne compte pas !

Posté par Emilie48 (invité)distance d un point à une droite 19-03-06 à 11:37

merci beaucoup pour le coup de pous!!
a bientôt peut-être
Emilie

Posté par Emilie48 (invité)distance d un point à une droite 19-03-06 à 13:42

re bonjour,
J'ai bien lu vos explications . Cependant il y a quelquechose que je ne comprends pas. C'est dans votre première explication. Vous mettez =-|axA+bYa+c|/(a²+b²)
N'auriez vous pas oublier une racine carrée sur le dénominateur? Car ensuite vous le remplacez par ||n|| or la norme d'un vecteur est égale à la racine carrée de l'addition de ses coordonnées respectivement au carré?
Merci de m'éclaircir sur ce dernier point.

Posté par
littleguyre : distance d un point à une droite 19-03-06 à 14:04

En attendant le retour de Nicolas_75 qui te répondra, je te propose ceci :

Puisque \tex \vec{AH} et \tex \vec{N} sont colinéaires, le cosinus de l'angle de vecteurs correspondant est égal à 1 ou -1, donc :

\tex |\vec{AH}.\vec{N}| = ||\vec{AH}||\times ||\vec{N}||

Le repère étant orthonormal on obtient :
\tex |(x_H-x_A)(a)+(y_H-y_A)(b)| = AH \times \sqrt{a^2+b^2}

On en déduit : \tex AH = \frac{|(x_H-x_A)(a)+(y_H-y_A)(b)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|ax_H-ax_A+by_H-by_A|}{\sqrt{a^2+b^2}|

or H appartient çà la droite (D) donc axH+byH = -c

et finalement : \tex AH = \frac{|ax_A+by_A+c)|}{\sqrt{a^2+b^2}}

sauf étourderie d'écriture




Posté par Emilie48 (invité)distance d un point à une droite 19-03-06 à 16:19

je ne vois pas du tout comment tu arrive à la première égalité. Je crois que c'est avec la relation xx'+yy' mais comment faites-vous pour trouver a²+b²???

Posté par
littleguyre : distance d un point à une droite 19-03-06 à 16:50

Si \tex \vec{N} a pour coordonnées (a,b) dans une base orthonormale alors \tex ||\vec{N}|| = \sqrt{a^2+b^2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : distance d un point à une droite 20-03-06 à 15:31

Bonjour Emilie48,

Tu dis :
"re bonjour,
J'ai bien lu vos explications . Cependant il y a quelquechose que je ne comprends pas. C'est dans votre première explication. Vous mettez =-|axA+bYa+c|/(a²+b²)
N'auriez vous pas oublier une racine carrée sur le dénominateur? Car ensuite vous le remplacez par ||n|| or la norme d'un vecteur est égale à la racine carrée de l'addition de ses coordonnées respectivement au carré?"

Justement. Termine les calculs que je te propose. Tu arrives ainsi au résultat, non ?

Nicolas

Posté par
littleguyre : distance d un point à une droite 20-03-06 à 15:38

Bonjour Nicolas_75. Je me suis immiscé dans votre conversation en attendant ton retour (post de 14:04 du 19)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : distance d un point à une droite 20-03-06 à 15:43

Tu as très bien fait !
(J'ai frôlé le crash informatique)

Posté par soso19 (invité)re : distance d un point à une droite 05-03-07 à 18:07

Bonjour,

Je regarde la deuxieme méthode, tres interressante et je comprends pas comment "apparait" le (a²+b²)/b².

Merci


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