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Distance d'un point à une droite
Bonjour j'ai un DM a faire et j'ai réfléchis avec plusieurs de mes amis mais nous n'avons pas réussis. Nous vous demandons votre aide s'il vous plait.
Voici l'énoncé:
Soit ( o;i;j ) un repère orthonormé.
On considère d une droite d'équation : ax+ by+ c = 0 avec ( a;b ) différent de (0;0)
On note vecteur n (a;b ) un vecteur normal à d
La distance d'un point A à la droite d est égale à la distance AH où H est la projeté orthogonal de A sur d.
1- Expliquer pourquoi on a : |vecteur n . vecteur AH| = ||vecteur n || . || vecteur AH ||
2- En déduire que la distance AH peut se calculer avec la formule suivante: AH= (|axA+byA+c|) / racine ( a² + b² )
3- Quel est alors la distance de A à la droite d lorsque A a pour coordonnées (3; -5) et d a pour équation 5x-3y-40 = 0
Nous avons réussis la question 1 mais pas les 2 autres questions. Pouvez vous nous aidez s'il vous plait.
Bonjour,
la réponse à 1 est simple, les vecteurs n et AH sont colinéaires donc leur produit scalaire (en valeur absolue) vaut le produit de leur longueur.
2) Applique la formule pour trouver || vecteur AH ||
3) simple application numérique de la formule.
Merci beaucoup j'ai réussis a faire le 1 et le 2 mais pour le trois je n'arrive juste pas a calculer la valeur absolue de 5*3+(-3)*(-5)-40
Je ne me rappelle plus comment on fait.
tu fais simplement les multiplications et les additions. Si tu trouves un résultat positif, tu le gardes et si c'est négatif tu prends sa valeur absolue donc tu enlèves le signe -.
Et la 2 ? tu as trouvé la formule demandée ? Montre voir ?
D'accord merci beaucoup!
Voila ma réponse pour la question 2:
On avait |n|*|AH| = ||vecteur n || * || vecteur AH||
du coup je l'ai transformée comme ceci:
||vecteur AH|| = |n|*|AH| / || vecteur n||
la distance n est racine de a² + b²
Comme AH c'est ax+by+c
et les coordonnées de A sont ( xA ; yA )
alors on distribue est ça fait : axA + byA + c
On obtient donc la formule demandée:
|axA + byA + c| / racine de a² + b²
Est-ce que c'est bon?
AH c'est ax+by+c
alors on distribue est ça fait : axA + byA + c
c'est ce que je craignais, c'est n'importe quoi ta démonstration.
tu dois calculer |vecteur n . vecteur AH|
n(a;b) et AH( xH-xA ; yH-yA)
calcule le produit scalaire en utilisant XX' + YY'
puis simplifie en te rappelant que H est sur la droite et donc que axH+byH+c = 0
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