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distance+limites+graphique
Bonjour et bonne année ^^ !!!
Voilà j'ai un exercice à faire mais il y a une question où je n'arrive
pas, c'est la question 3. Sinon j'ai tout fait.
Voilà merci pour votre aide !!!!
Soit f la fonction définie sur I = ]0; +inf[ par f(x) = x² + 2/x
1) Déterminer les limites de f en 0 et en +inf.
2) a - Calculer la dérivée de f' de f.
b - Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x>0, f'(x)=2
((x-1)(ax²+bx+c))/x²
c - Etudier les variations de f. Dresser le tableau de variation
de f.
3) On appelle Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(O;i;j).
Soit P la parabole d'équation y=x².
Soit M le point de P de coordonnées (x;x²) et N le point de Cf de coordonnées
(x;f(x)).
a - Exprimer la distance MN en fonction de x.
b - Déterminer la limite de la distance MN lorsque x tend vers
+inf.
Donner une interprétation graphique.
c - Etudier la position relative de Cf et de P.
Bonjour, bonne année à toi 
- Question 3 -
a) On a :
MN² = (x-x)² + (f(x)-x²)²
= (2/x)²
Donc :
MN = 2/x
b) Lorsque x tend vers +
,
2/x tend vers 0.
c) Position relative de Cf et de P :
pour cela on étudie le signe de f(x)-x² :
f(x) - x² = 2/x
Or x
]0; +[, donc
2/x > 0
Par conséquent, f(x) > x²
Sur I, la courbe représentative de f est au-dessus de la parabole P.
Sauf erreur de ma part, bon courage ...
MN=rac[(xM-xN)²+(yM-yN)²]
MN=rac[(x-x)²+(x²+2/x-x²)²]
MN=2/x ( car x > 0 )
limMN=lim(2/x)=0 en + inf
donc la courbe et la parabole se rapprochent jusqu'à tendre à se
confondre, sans y parvenir car 2/x reste >0, quand x tend vers +
inf
on dit que la parabole est une courbe asymptote à Cf
puisque f(x)-x²=2/x toujours >0 ici, alors Cf reste toujours au dessus de
la parabole
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