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Par 5 oui; par 11 non, par 13 oui... et ensuite j'en ai eu assez!

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3^4 = 81 1 (5)
(3^4)^26*3 3 (5)

4^2 = 16 1 (5)
(4²)^52*4 4 (5)

3^105 + 4^105 7 2 (5)

non divisible par 5
-----------------------
(3^5)^21 1 (11)
(4^5)^21 1 (11)

non divisible par 11
----------------------
(3^3)^35 1 (13)
(4^3)^35 -1 (13)

divisible par 13
-------------

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par 5 oui ?

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D'abord je n'ai pas blanké, (je viens de demander qu'on me le modifie) et ensuite, je me suis trompée! mais là j'ai blanké, alors que c'est inutile!

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Pour ceux que le pb intéresse, on peut utiliser le fait que:

a^2k+1 + b^2K+1possède un diviseur évident.

A+

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Oui... il y en a au moins un qui s'y intéresse... en fonction de son temps disponible ! Les résultats viennent lentement...

a^2k+1 + b^2k+1 a l'air d'être divisible par (a+b) et le quotient être (i=0 à 2k) a^k-i (-b)ⁱ

donc pour notre problème, X = 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ serait divisible par 7 ...
ou comme 105 = 3*5*7 = 15*7 = 21*5 = 35*3
X serait divisible par 3³+4³ = 91 = 7*13
ou par 3⁵+4⁵ = 1267 = 7*181
ou par 3⁷+4⁷ = 18571 = 7²*379
ce qui permet de répondre oui aux divisibilités restantes par 13,49,181 et 379

Etait-ce le chemin qu'il fallait prendre ?
Bon, ce soir, j'arrête. Je vais dormir.
A+

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En effet, cette méthode est simple mais il fallait y penser!

A+

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J'en déduis que je n'ai pas trouvé la bonne méthode !
J'ai pourtant suivi tes indices :
- trouver un diviseur de a^2k+1 + b^2k+1
- observer les exposants.

Depuis le début, j'essayais de trouver une méthode sans utiliser de congruences... j'ai beaucoup tourné... mais ce sont tes indices qui m'ont mis sur cette voie là
Faut-il que je continue à chercher autre chose ?

Bon, ma méthode n'est pas très généralisable... mais ta question l'est-elle ?

P.S.: mes errances autour de ce nombre m'ont permis aussi d'en connaître le chiffre des unités : simple !

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Je me suis mal fait comprendre: c'est exactement ce que je voulais: Bravo!