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Divisibilité

Posté par
ipazia1777
16-12-17 à 12:25

Déterminer toutes les paires d'entiers positifs (a,b) tels que
\frac {b^3+1}{ab-1}
est un nombre entier.


***** modération :  corrige ton niveau d'études STP, tu ne peux pas être en sixième et poser
une question comme ça ! *******

Posté par
lake
re : Divisibilité 16-12-17 à 13:26

Bonjour,

As-tu cherché ?

Posté par
carpediem
re : Divisibilité 16-12-17 à 14:06

salut

b^3 + 1 = (b + 1)(b^2 - b + 1)  ...

Posté par
ipazia1777
re : Divisibilité 16-12-17 à 14:10

Oui, j'ai commencé.
\frac {b^3+1}{ab-1}=k
b^3+1=abk-k
b^3-b(ak)+(k+1)=0

Mais ensuite je m'arrête.

Posté par
carpediem
re : Divisibilité 16-12-17 à 14:25

b^3 - bak + k + 1 = 0  => k + 1 est multiple de b

donc k = bq - 1

donc b^3 - ba(bq - 1) + bq = 0 \iff b^2 - abq + a + q = 0

\Delta = (-aq)^2 - 4(a + q) = .... bof ...



donc a + q est multiple de b et a + q = bp

donc b^2 - ab(a - bp) + bp = 0 \iff b - a(a - bp) + p = 0 \iff a^2 - abp - b - p = 0   bof ...

Posté par
lake
re : Divisibilité 16-12-17 à 14:46

C'est un problème d'IMO,  donc difficile.

Je posterai une solution ce soir si personne n'est intervenu d'ici là.

Mais auparavant:

  >> ipazia1777

     Dans quel cadre fais-tu cet exercice ? (demandé par un professeur ? autre ?...)

    Modifie ton profil comme demandé par la modération en cliquant sur ton pseudo dans "espace membre" puis, "préférences".

Posté par
lake
re : Divisibilité 16-12-17 à 14:48

Au lieu de "Mes préférences", c'est plutôt "Mes informations"

Posté par
ipazia1777
re : Divisibilité 16-12-17 à 16:04

Mon prof, a suggéré d'utiliser ces formules, mais je ne sais pas exactement comment ...


x^3-x(ak)+(k+1)=0
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=-2k
x_{1}x_{2}x_{3}=-(k+1)
x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2 =4k

Posté par
ipazia1777
re : Divisibilité 16-12-17 à 16:10

ipazia1777 @ 16-12-2017 à 16:04

Mon prof, a suggéré d'utiliser ces formules, mais je ne sais pas exactement comment ...


x^3-x(ak)+(k+1)=0
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=-ak
x_{1}x_{2}x_{3}=-(k+1)
x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2 =a^{2}k

Posté par
carpediem
re : Divisibilité 16-12-17 à 16:17

u + v + w = 0 => 0 = (u + v+ w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2uv + 2vw + 2wu = a^2k - 2ak = ak(a - 2)

Posté par
ipazia1777
re : Divisibilité 16-12-17 à 16:25

Merci carpediem.
Alors, comment ça se termine?

Posté par
carpediem
re : Divisibilité 16-12-17 à 16:36

un peu de sérieux !!

l'équation    ak(a - 2) = 0   se résout au collège ...

Posté par
ipazia1777
re : Divisibilité 16-12-17 à 16:44

désolé j'avais tort d'écrire...
est x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2=2ak

Posté par
malou Webmaster
re : Divisibilité 20-12-17 à 13:33

merci de tenir compte de ceci :

Divisibilité

(modérateur)

Posté par
carpediem
re : Divisibilité 20-12-17 à 16:32

lake @ 16-12-2017 à 14:46

C'est un problème d'IMO,  donc difficile.

Je posterai une solution ce soir si personne n'est intervenu d'ici là.
merci par avance ...

Posté par
lake
re : Divisibilité 20-12-17 à 16:38

Bonjour carpediem,

Oui, mais j'avais ajouté ceci:

  

Citation :
Mais auparavant:

  >> ipazia1777

     Dans quel cadre fais-tu cet exercice ? (demandé par un professeur ? autre ?...)

    Modifie ton profil comme demandé par la modération en cliquant sur ton pseudo dans "espace membre" puis, "préférences".


Et ipazia1777 n'a pas réagi.

Et maintenant j'ai le c.. entre deux chaises.

A moins que la modération ne donne son aval

  

Posté par
malou Webmaster
re : Divisibilité 20-12-17 à 16:46

Je vais répondre, car je ne voudrais pas laisser lake en mauvaise posture....
la modération aimerait bien qu'on attende un peu.....je ne suis pas pour qu'on donne des solutions toutes faites à des membres avertis, qui plus est qui ne font aucun effort....c'est je balance mon sujet, et j'attends que ça tombe tout cuit....

Posté par
lake
re : Divisibilité 20-12-17 à 16:50

Bonjour malou,

Merci pour mon postérieur

Attendons donc

Posté par
carpediem
re : Divisibilité 20-12-17 à 17:07

ou alors commencer petit à petit avec une première direction ... puis nous laisser cogiter un peu ...

je ne suis pas pressé et c'est bientôt les vacances alors une idée tous les deux ou trois jours par exemple...

parce que j'avoue (et comme vous le voyez au dessus) j'ai essayé quelques trucs ... mais rien de concluant ...



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